Hỏi về trọng tâm tứ giác?

Lâu ngày không học hình học cũng quên, nhưng mà theo giải tích thì trọng tâm của một hình trong hệ toạ độ Oxy có toạ độ được xác định theo công thức:
X = Tích phân(x.dF)/F
Y = Tích phân(y.dF)/F
Quay lại vấn đề vectơ(GA)+vectơ(GB)+vectơ(GC)+vectơ(GD)=vectơ(0)
Theo tôi cái này không đúng
Lấy ví dụ với hệ điểm A(-1,0); B(0,1); C(2,0); D(0,-1). Tứ giác ABCD phải có vectơ(OA) + vectơ(OB) + vectơ(OC) + vectơ(OD) = 4vectơ(OG) (Theo tính chất trên), dễ thấy vế trái bằng (1,0) suy ra G(1/4,0)
Tuy nhiên xét tam giác ABC, thấy vectơ(OA) + vectơ(OB) + vectơ(OC) = 3vectơ(OG1) suy ra G1 phải có toạ độ x = 1/3, tương tự với tam giác ADB, G2 cũng có toạ độ x = 1/3. suy ra toạ độ x của G cũng phải bằng 1/3, sai với giả thiết.

Không biết bác dangiaothong lấy đâu ra tính chất là "Một tứ giác đuợc chia làm hai tam giác thì trọng tâm của tứ giác và của hai tam giác kia là thẳng hàng" vậy nhỉ? Vậy nếu một hình ngũ giác đuợc chia làm 3 tam giác thì sao? Nếu 3 trọng tâm của 3 tam giác ấy không thẳng hàng thì các bác làm thế nào? Bỏ nó không có trọng tâm à?
Đúng là bên Vật lý có cách tìm trọng tâm theo cách treo vật, nhưng đó là của Vật lý (trọng tâm của 1 vật), còn ở đây lại là Toán học (trọng tâm của một hệ điểm), nó có những công thức khác bác ạ. Tôi đã giới thiệu một cuốn sách Hình học có nói về công thức ấy, thế mà hình như các bác không xem thì phải.
Ngoài ra, tôi không nhớ là có tài liệu nào đã nói rằng "đuờng thẳng đi qua trọng tâm của một hình phẳng sẽ chia hình đó thành hai hình có diện tích bằng nhau" không nữa. Nếu các bác biết thì post tên của nó lên nhé!

Ôi bạn không biết thì cứ từ từ tớ nói chứ làm sao mà cuống lên thế!
Vấn đề ở đây là hai cái tam giác đó giống hệt nhau. Mình nhớ không nhầm thì nếu một hình phẳng được chia làm 2 hình thì trọng tâm của hình phẳng nằm trên đường nối trọng tâm 2 hình đó.
Mình không có quyển sách hình học lớp 10, bạn có thể coppy cái đoạn kia lên đây giúp mình không? Theo mình hiểu thì trọng tâm của hệ điểm khác với trọng tâm của tứ giác.
Xem thêm cái này nha: http://en.wikipedia.org/wiki/Centre_of_mass
Được dangiaothong sửa chữa / chuyển vào 21:03 ngày 12/08/2009

OK hóa ra là ông nói gà bà nói vịt. Trong này mọi người đang nói đến 2 loại "trọng tâm" khác nhau:
- Trọng tâm của các đỉnh đa giác: là loại "trọng tâm" trong chương trình hình học lớp 10, điểm này có tính chất là tổng các vector đến các đỉnh đa giác triệt tiêu.
- Trọng tâm của "hình đa giác": là trọng tâm vật lý của phần mặt phẳng giới hạn bởi hình đa giác. Đây là trọng tâm mà tớ và dangiaothong đang đề cập.
Một hình tứ giác có 2 điểm trên trùng nhau khi và chỉ khi nó là hình bình hành.
Tuy vậy, hình tam giác bất kỳ luôn có 2 điểm trên trùng nhau. Chính vì điều này nên đôi khi có sự nhập nhằng giữa 2 khái niệm.
Được werty98 sửa chữa / chuyển vào 02:10 ngày 13/08/2009

Gửi cả hai bác dangiaothong và werty98. Nếu hai bác nói vậy thì đây là bài toán Vật lý mất rồi. Người mở topic này có nhìn đây là box Toán học không vậy nhỉ?
Và nếu người đó không sai thì... tôi xin nói thẳng ra là hai bác đã lạc chủ đề và... sai luôn rồi đấy!
Gửi bác dangiaothong: Tôi xin "gõ lại" bài toán mà bác yêu cầu lên đây nhé!
Cho n điểm A1, A2, ..., An và n số k1, k2, ..., kn mà
k1 + k2 + ... + kn = k khác 0
a. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho
k1.vt(GA1) + k2.vt(GA2) + ... + kn.vt(GAn) = vt(0)
Điểm G như thế gọi là tậm tỉ cự của hệ điểm Ai, với các hệ số ki. Trong trường hợp các hệ số ki đều bằng nhau (và do đó có thể xem các ki đều bằng 1), thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm Ai.
(Ghi chú, vt là ký hiệu cho vecto, các số phía sau là chỉ số dưới)

Phải xét tam giác ACD chứ!
Vẫn là trọng tâm toán học đấy thôi!

Ai bảo là "trọng tâm của hình" thì chỉ có trong vật lý thế, trọng tâm hình phẳng là một khái niệm hoàn toàn toán học, lỗi ở đây là lỗi của người ra đề không nói rõ là trọng tâm của đỉnh đa giác hay là trọng tâm của hình đa giác.
Vào đây mà xem này:
http://mathworld.wolfram.com/GeometricCentroid.html
Bọn tây nó dùng thẳng chữ "centroid of the vertices" để phân biệt với "centroid of the lamina" để chỉ 2 loại điểm trên nên không bao giờ nhầm được. Còn mấy sếp VN cứ phang cái chữ tàu "trọng tâm" chung chung.

@mathagu: Lại có vẻ trầm trọng rồi. Trọng tâm của tứ giác là trọng tâm của hình tứ giác, nó là một bài toán toán học, mà cho dù là Vật lý đi nữa thì nó cũng dựa vào toán học. Trọng tâm của tứ giác, thực chất là trọng tâm của hệ vô số điểm giới hạn bởi các cạnh và đỉnh của hình tứ giác đó. Để giải quyết bài toán này người ta có thể dùng phép tích phân.
Tôi thì không nói trước nhưng cứ căn cứ vào đề ra thì bạn mới là người lạc đề. Ngay cả tính chất của bạn nêu cũng là tính chất của một hệ điểm, không phải là tính chất của một đa giác để có thể áp dụng cho tứ giác. Còn nếu chủ topic có ý là trọng tâm hệ điểm thì chủ topic diễn đạt sai.
@ca_ko_an_muoi_ca_buou_co: Tớ type nhầm, sorry!

Về trọng tâm tứ giác thì em giải ra bài này rồi, nó chính là điểm mà tổng vectơ có nó làm gốc và ngọn là các đỉnh bằng không, hay nói cách khác gọi G là trọng tâm tức giác thì v(GA)+v(GB)+v(GC)+v(GD) = 0.
Về cách dựng trọng tâm tứ giác thì có một cách dựng khác là trong tứ giác ABCD gọi G1 là trọng tâm ABC, G2 là trọng tâm BCD, giao điềm của DG1 và AG2 chính là trọng tâm tứ giác.

Cái đó là trọng tâm hệ điểm, nhắc lại không cậu lại nhầm. Sách nào gọi đó là trọng tâm tứ giác thế???