Hứng thú với toán học? ( những bài toán thú vị không theo chuyên đề) COME IN !

Chứng minh cho D bất ky? chắc la? thú vị lắm. Chưa nghif ra hướng đi
nên đa?nh chơ? đê? học ho?i thôi.
Nhưng có thê? chứng minh ră?ng với vô hạn giá trị cu?a D phương
tri?nh
x^2 - D*y^2 = 1 (A)
có vô hạn nghiệm.
Thật thế với D lâ?n lượt = n^2 + 1, n^2 + 2, n^2 - 1, n^2 - 2, n*(n+1)
(n tự nhiên sao cho D > 1) thi? các cặp (x, y) lâ?n lượt = (2*n^2 + 1, 2*n),
(n^2 + 1, n), (n, 1), (n^2 - 1, n), (2*n + 1, 2)
la? nghiệm cu?a phương tri?nh (A).

Tư? hă?ng đă?ng thức (x^2 + D*y^2)^2 - D*(2*x*y)^2 = (x^2 - D*y^2)^2
suy ra ră?ng nếu cặp (x, y) la? nghiệm cu?a (A) thi? cặp (x^2 + D*y^2, 2*x*y)
cufng la? nghiệm cu?a (A), va? x^2 + D*y^2 > x cufng như 2*x*y > y.
Như vậy với D có dạng như đaf chi? ơ? trên thi? (A) có vô hạn nghiệm.
Ví dụ tất ca? các giá trị cu?a D ma? không lớn hơn 50 la?:
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 34, 35,
37, 38, 42, 47, 48, 50

Chứng minh cho D bất ky? chắc la? thú vị lắm. Chưa nghif ra hướng đi
nên đa?nh chơ? đê? học ho?i thôi.
Nhưng có thê? chứng minh ră?ng với vô hạn giá trị cu?a D phương
tri?nh
x^2 - D*y^2 = 1 (A)
có vô hạn nghiệm.
Thật thế với D lâ?n lượt = n^2 + 1, n^2 + 2, n^2 - 1, n^2 - 2, n*(n+1)
(n tự nhiên sao cho D > 1) thi? các cặp (x, y) lâ?n lượt = (2*n^2 + 1, 2*n),
(n^2 + 1, n), (n, 1), (n^2 - 1, n), (2*n + 1, 2)
la? nghiệm cu?a phương tri?nh (A).

Tư? hă?ng đă?ng thức (x^2 + D*y^2)^2 - D*(2*x*y)^2 = (x^2 - D*y^2)^2
suy ra ră?ng nếu cặp (x, y) la? nghiệm cu?a (A) thi? cặp (x^2 + D*y^2, 2*x*y)
cufng la? nghiệm cu?a (A), va? x^2 + D*y^2 > x cufng như 2*x*y > y.
Như vậy với D có dạng như đaf chi? ơ? trên thi? (A) có vô hạn nghiệm.
Ví dụ tất ca? các giá trị cu?a D ma? không lớn hơn 50 la?:
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 34, 35,
37, 38, 42, 47, 48, 50

đóng góp 1 chút :
x^2 - Dy^2 = 1
<=> ( x - Ay)(x + Ay) =1 ( A = căn D)
<=> a . a'' =1 với a và a'' là các số vô tỉ liên hợp
thay bằng việc tìm các no nguyên dương thì ta tìm tất cả giá trị
a'' = x +Ay thoả mãn x,y nguyên dương ,a.a'' =1
giả sử có 2 no thoả mãn là a'' và b'' ,ta CM a''.b'' cũng là no
a''.b'' (a''.b'')'' = a''.a.b.b'' = 1
Hệ quả : pt Pell có vô số no là a'' ,a''^2,a''^3,...........,a''^n
VD : x^2 - 2y^2 = 1
pt có no nhỏ nhất là (3,2)
các no tiếp theo là :
(3 + 2.căn 2)^2 = 17 + 12.căn2
(3 + 2.căn2)^3 = 99 + 70.căn2
vấn đề là tìm được no nhỏ nhất

đóng góp 1 chút :
x^2 - Dy^2 = 1
<=> ( x - Ay)(x + Ay) =1 ( A = căn D)
<=> a . a'' =1 với a và a'' là các số vô tỉ liên hợp
thay bằng việc tìm các no nguyên dương thì ta tìm tất cả giá trị
a'' = x +Ay thoả mãn x,y nguyên dương ,a.a'' =1
giả sử có 2 no thoả mãn là a'' và b'' ,ta CM a''.b'' cũng là no
a''.b'' (a''.b'')'' = a''.a.b.b'' = 1
Hệ quả : pt Pell có vô số no là a'' ,a''^2,a''^3,...........,a''^n
VD : x^2 - 2y^2 = 1
pt có no nhỏ nhất là (3,2)
các no tiếp theo là :
(3 + 2.căn 2)^2 = 17 + 12.căn2
(3 + 2.căn2)^3 = 99 + 70.căn2
vấn đề là tìm được no nhỏ nhất

bạn có thể tìm dạng tổng quát của D không?
hương đi của các bạn là đúng rồi đó, vấn đề là tìm ra (x,y) nhỏ nhất và chứng minh nó.
chúc thắng lợi.

bạn có thể tìm dạng tổng quát của D không?
hương đi của các bạn là đúng rồi đó, vấn đề là tìm ra (x,y) nhỏ nhất và chứng minh nó.
chúc thắng lợi.

hình như làm gì có cách giải tổng quát cho pt Pell,mỗi pt lại có cách tìm no nhỏ nhất khác nhau.

hình như làm gì có cách giải tổng quát cho pt Pell,mỗi pt lại có cách tìm no nhỏ nhất khác nhau.