Hứng thú với toán học? ( những bài toán thú vị không theo chuyên đề) COME IN !

Trong các phép gần đúng, ví dụ giải phương trình vi phân theo Euler, với các đuờng cong f(x) bất kỳ , ko cần tính chất gì đặc biệt , người ta vẫn coi hàm f(x) trong khoảng delta x đủ nhỏ là tuyến tính đấy thôi (trừ trường hợp f(x) không xác định tại đoạn đó). Mà đã là đuờng cong thì phải khả vi, ít nhất là trong đoạn delta, nếu không nó là đường cong gấp khúc ?. Các phép tính tích phân gần đúng cũng phải như vậy cả.Tớ thắc mắc và đã tìm được lời giải, thấy hay hay nên mới mang ra cho các bác tham khảo chứ có gì đáng buồn cuời đâu. Đây không phải là một bài tập, tớ đã nói từ đầu rồi cơ mà.
Thực ra điều này, ai cũng coi là đương nhiên trong khi giải quyết các vấn đề về toán và lý, nhưng hiểu rõ hơn về nó thì vẫn hay hơn.

Vừa sưu tầm được bài này hay hay, mọi người giải thử:
Cho n quả bóng, thể tích 1, 1/2 ... 1/n, xáo trộn ngẫu nhiên và thổi từng quả một, thổi quá kích thước thì vỡ tìm chiến thuật thổi sao cho thể tích kỳ vọng là lớn nhất. va kì vọng đó bằng bao nhiêu?

"coi là đương nhiên". Coi cái gi? la? đương nhiên?
Với cách ba?y to? kiê?u na?y thi? bố ai ma? tra? lơ?i được. Tôi lấy ví dụ.
Hafy tính nghiệm f(x) = 0.
Gia? sư? f(x) cắt Ox tại x0. Nếu ta có x1 va? x2 sao cho f(x1) < 0, f(x2) > 0, va?
điê?m cắt cu?a đươ?ng thă?ng đi qua (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) với Ox la? x3 thi? ta nhận thấy:
1. Với lân cận cu?a x0 la? (x1, x2) ca?ng nho? thi? x3 ca?ng gâ?n x0
2. Với lân cận (x1, x2) "đu? nho?" (có thê? đưa ra công thức đê? ước tính)
thi? |x3 - x0| nho? tới mức la? tho?a mafn độ chính xác gia? thiết trong việc
xác định nghiệm.
Lúc đó ta nghif: xác định x3 dêf hơn xác định x0 rất nhiê?u, vậy ta chi? câ?n
tính toán cho tới khi được x3 với độ chính xác cho trước, tức la? khi
|x2 - x1| đu? nho? la? được. Ngay ca? khi đó không ai COI "đường cong là một đoạn thẳng"
ca?, nhưng tất ca? mọi ngươ?i đê?u COI la? nhiệm vụ gia?i toán đaf hoa?n tha?nh,
đê?u COI la? nghiệm đaf được ti?m (với độ chính xác ca?ng lớn khi lân cận
(x1, x2) ca?ng nho?). Hai cái "COI" na?y la? hoa?n toa?n khác nhau.
Tất nhiên ha?m f(x) pha?i có một số tính chất nhất định ma? ơ? đây ta không
đưa ra, ai quan tâm thi? ti?m đọc lý thuyết.

Thực ra điều này, ai cũng coi là đương nhiên trong khi giải quyết các vấn đề về toán và lý, nhưng hiểu rõ hơn về nó thì vẫn hay hơn.
[/quote]
"coi là đương nhiên". Coi cái gi? la? đương nhiên?
Với cách ba?y to? kiê?u na?y thi? bố ai ma? tra? lơ?i được. Tôi lấy ví dụ.
Hafy tính nghiệm f(x) = 0.
Gia? sư? f(x) cắt Ox tại x0. Nếu ta có x1 va? x2 sao cho f(x1) < 0, f(x2) > 0, va?
điê?m cắt cu?a đươ?ng thă?ng đi qua (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) với Ox la? x3 thi? ta nhận thấy:
1. Với lân cận cu?a x0 la? (x1, x2) ca?ng nho? thi? x3 ca?ng gâ?n x0
2. Với lân cận (x1, x2) "đu? nho?" (có thê? đưa ra công thức đê? ước tính)
thi? |x3 - x0| nho? tới mức la? tho?a mafn độ chính xác gia? thiết trong việc
xác định nghiệm.
Lúc đó ta nghif: xác định x3 dêf hơn xác định x0 rất nhiê?u, vậy ta chi? câ?n
tính toán cho tới khi được x3 với độ chính xác cho trước, tức la? khi
|x2 - x1| đu? nho? la? được. Ngay ca? khi đó không ai COI "đường cong là một đoạn thẳng"
ca?, nhưng tất ca? mọi ngươ?i đê?u COI la? nhiệm vụ gia?i toán đaf hoa?n tha?nh,
đê?u COI la? nghiệm đaf được ti?m (với độ chính xác ca?ng lớn khi lân cận
(x1, x2) ca?ng nho?). Hai cái "COI" na?y la? hoa?n toa?n khác nhau.
Tất nhiên ha?m f(x) pha?i có một số tính chất nhất định ma? ơ? đây ta không
đưa ra, ai quan tâm thi? ti?m đọc lý thuyết.
[/quote]
Đúng là mấy bác này coi toán học quá thuần tuý. Cái gì cũng phải cong là cong, thẳng là thẳng. Đây là vấn đề tính gần đúng cơ mà. Giả sử đơn giản nhất ta tính tính phân gần đúng của f(x) (không tính đuợc bằng giải tích.) trong [a,b]. Khi đó người ta chia [a,b] thành n đoạn h nhỏ và tính các diện tích hình thang vuông với chiều cao là h, 2 cạnh đáy lớn và nhỏ là f(xi) và f(xi+h), cuối cùng cộng gộp lại. Nếu không coi đường cong f(x) trên đoạn (xi,xi+1) là thẳng thì làm sao coi đó là các hình thang được. Tuy nhiên đó vẫn chỉ là phép tính gần đúng. Độ chính xác của phép tính tăng lên nếu ta chia h nhỏ hơn, có nghĩa là đoạn f(x) đó gần với đuờng thẳng hơn. Hoặc phát biểu 1 cách khác là ta phải chia delta đủ nhỏ để đạt độ chính xác cần thiết, khi đó tự ta đã coi f(x) là thẳng trong khoảng delta.
Một ví dụ nữa : khi xây cầu, ngưòi ta thường chỉ coi mặt nước giữa 2 đầu cầu là một mặt phẳng vì Trái đất lớn quá, khoảng cách một vài km coi như đủ nhỏ để coi đó là 1 đoạn thẳng. Nhưng tôi nhớ có đọc tài liệu về câu cầu Vàng gì đó ở San F. Nó quá dài đến nỗi khi xây dựng, ngưòi ta phải coi bề mặt TĐ là một mặt cong trong phạm vi cây cầu !
Còn hàng lô ví dụ trong tính gần đúng, trong lý mà ta phải coi các đoạn cong trong 1 khoảng đủ nhỏ là thẳng. Nếu gõ lên đây thì sẽ tràn hết cả trang.

Em có cách thổi thế này:
lần 1 thổi tất cả với 1/n thể tích
lần 2 : thổi tiếp thành 2/n thể tích với n-1 quả, nếu có 1 quả vỡ thì thổi tiếp quả bỏ ra
lần 3 thổi tiếp thành 3/n thể tích với n-2 quả, nếu 1 có quả vỡ thì thổi tiếp quả bỏ ra
cứ như vậy cho tới quả cuối cùng với thể tích tổng cộng =1.
Chưa tìm được kỳ vọng ,
Được thohry sửa chữa / chuyển vào 14:36 ngày 06/07/2007

"coi là đương nhiên". Coi cái gi? la? đương nhiên?
Với cách ba?y to? kiê?u na?y thi? bố ai ma? tra? lơ?i được. Tôi lấy ví dụ.
Hafy tính nghiệm f(x) = 0.
Gia? sư? f(x) cắt Ox tại x0. Nếu ta có x1 va? x2 sao cho f(x1) < 0, f(x2) > 0, va?
điê?m cắt cu?a đươ?ng thă?ng đi qua (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) với Ox la? x3 thi? ta nhận thấy:
1. Với lân cận cu?a x0 la? (x1, x2) ca?ng nho? thi? x3 ca?ng gâ?n x0
2. Với lân cận (x1, x2) "đu? nho?" (có thê? đưa ra công thức đê? ước tính)
thi? |x3 - x0| nho? tới mức la? tho?a mafn độ chính xác gia? thiết trong việc
xác định nghiệm.
Lúc đó ta nghif: xác định x3 dêf hơn xác định x0 rất nhiê?u, vậy ta chi? câ?n
tính toán cho tới khi được x3 với độ chính xác cho trước, tức la? khi
|x2 - x1| đu? nho? la? được. Ngay ca? khi đó không ai COI "đường cong là một đoạn thẳng"
ca?, nhưng tất ca? mọi ngươ?i đê?u COI la? nhiệm vụ gia?i toán đaf hoa?n tha?nh,
đê?u COI la? nghiệm đaf được ti?m (với độ chính xác ca?ng lớn khi lân cận
(x1, x2) ca?ng nho?). Hai cái "COI" na?y la? hoa?n toa?n khác nhau.
Tất nhiên ha?m f(x) pha?i có một số tính chất nhất định ma? ơ? đây ta không
đưa ra, ai quan tâm thi? ti?m đọc lý thuyết.
[/quote]
Hoặc phát biểu 1 cách khác là ta phải chia delta đủ nhỏ để đạt độ chính xác cần thiết, khi đó tự ta đã coi f(x) là thẳng trong khoảng delta.
[/quote]
Thi? tôi đaf cha? đưa ra ví dụ đấy la? gi??
Không pha?i: "Hoặc phát biểu 1 cách khác là ta phải chia delta đủ nhỏ
để đạt độ chính xác cần thiết, khi đó tự ta đã coi f(x) là THĂ?NG trong
khoảng delta".
Đươ?ng CONG la? đươ?ng CONG, THĂ?NG la? THĂ?NG.
Tại sao bạn cứ bám lấy cái "CONG THĂ?NG" la?m gi? thế? Tai sao không
nói đơn gia?n: Bơ?i vi? nhiệm vụ cu?a tôi la? tính tích phân (trong ví dụ cu?a tôi
la? tính nghiệm) với độ chính xác cho trước nên "Hoặc phát biểu 1 cách khác
là ta phải chia delta đủ nhỏ để đạt độ chính xác cần thiết, khi đó tự ta đã coi
la? ta đaf đạt được mục đích va? ta có thê? đi uống ca? phê"
Tại sao bạn không thê? COI: "delta đu? nho? => kết qua? đạt được đu? chính xác
=> kết thúc tính toán"
Tại sao bạn cứ cho la? mọi ngươ?i COI: "delta đu? nho? => trong khoa?ng delta
ta COI đươ?ng CONG la? đươ?ng THĂ?NG"??? COI như thế đê? la?m gi????
Tôi đaf nói có 2 cái COI khác nhau.
Tôi hiê?u ý bạn nói gi? song ta có A <> B, bạn muốn nói B co?n tôi thi? cho la?
bạn chi? nên nói A, vi? B nó ky? cục quá, thế thôi
Nếu bạn vâfn không hiê?u ý tôi thi? chịu, tôi cufng cha? cố la?m gi? nưfa.

không biết đề cho thổi 1 quả 1 lần hay nhiều lần

Không nói gì tức là thích thổi mấy lần cũng được, nhưng chỉ tính thể tích cuối cùng (nếu bóng vỡ coi như thể tích cuối cùng của nó bằng 0).

Đây rồi, tính ra đáp số rồi.
Thổi theo các lần như sau:
Lần 1 : thổi 1/n thể tích cho tất cả các quả.
Lần 2: bỏ ra 1 quả, thổi thêm 1/n thể tích (tổng sẽ là 2/n) cho n-1 quả còn lại, nếu có 1 quả vỡ thì thay quả bỏ ra ban đầu vào, nếu ko vỡ thì đó là quả có thể tích 1/n. Xác suất chọn trúng quả có Vn=1/n là Pn= 1/n. Kỳ vọng thể tích khí của quả đó là Kn=Pn*Vn = 1/n^2.
Lần 3 : Thổi tiếp 1/n thể tích khí vào n-2 quả (ngẫu nhiên bỏ 1 trong số n-1 quả chưa xác định), tương tự trên, nếu vỡ thì thay quả bỏ ra lần 2 vào. Nếu ko vỡ thì quả vừa bỏ ra là quả có thể tích 2/n. Kỳ vọng của lần này là Kn-1 = Pn-1*Vn-1 = 1/(n-1)^2.
.....
Tương tự làm tới quả cuối cùng, chính đó là quả có thể tích 1 và XS = 1.Kỳ vọng = 1/1^2 = 1.
Vậy kỳ vọng thể tích của tổng sẽ bằng tổng kỳ vọng (vì các biến độc lập). Hay ta có :
K = Sigma(i=1:n){1/i^2}.
Nhận thấy K luôn luôn > 1 với n>1.

Thì? tĂi 'àf chà? 'ưa ra vì dù 'Ắy là? gì??
KhĂng phà?i: "Hoặc phĂt bifu 1 cĂch khĂc lĂ ta phải chia delta 'ủ nhỏ
'f 'ạt 'T chĂnh xĂc cần thiết, khi 'Ă tự ta 'Ă coi f(x) lĂ TH,?NG trong
khoảng delta".
Đươ?ng CONG là? 'ươ?ng CONG, TH,?NG là? TH,?NG.
Tài sao bàn cứ bàm lẮy cài "CONG TH,?NG" là?m gì? thẮ? Tai sao khĂng
nòi 'ơn già?n: Bơ?i vì? nhiẶm vù cù?a tĂi là? tình tìch phĂn (trong vì dù cù?a tĂi
là? tình nghiẶm) với 'Ặ chình xàc cho trước nĂn "Hoặc phĂt bifu 1 cĂch khĂc
lĂ ta phải chia delta 'ủ nhỏ 'f 'ạt 'T chĂnh xĂc cần thiết, khi 'Ă tự ta 'Ă coi
là? ta 'àf 'àt 'ược mùc 'ìch và? ta cò thĂ? 'i uẮng cà? phĂ"
Tài sao bàn khĂng thĂ? COI: "delta 'ù? nhò? => kẮt quà? 'àt 'ược 'ù? chình xàc
=> kẮt thùc tình toàn"
Tài sao bàn cứ cho là? mòi ngươ?i COI: "delta 'ù? nhò? => trong khoà?ng delta
ta COI 'ươ?ng CONG là? 'ươ?ng TH,?NG"??? COI như thẮ 'Ă? là?m gì????
TĂi 'àf nòi cò 2 cài COI khàc nhau.
TĂi hiĂ?u ỳ bàn nòi gì? song ta cò A <> B, bàn muẮn nòi B cò?n tĂi thì? cho là?
bàn chì? nĂn nòi A, vì? B nò kỳ? cùc quà, thẮ thĂi
NẮu bàn vĂfn khĂng hiĂ?u ỳ tĂi thì? chìu, tĂi cùfng chà? cẮ là?m gì? nưfa.
[/quote]
Được r"i, 'ược r"i, 'ường cong lĂ 'ường cong, 'uờng thẳng lĂ 'uờng thẳng, 'Ă m>i lĂ toĂn. CĂi Ă của tĂi lĂ : khi tĂnh gần 'Ăng, tại sao người ta phải chia nhỏ hơn cĂc delta khi mong mu'n cĂ kết quả chĂnh xĂc hơn.
TĂi vẫn thấy trong cĂc sĂch lĂ hay toĂn, v>i 'oạn delta 'ủ nhỏ, hay di?n tĂch 'ủ nhỏ (v>i hĂm 2 biến), người ta vẫn viết : coi 'oạn cong như mTt 'oạn thẳng (hay mặt cong v>i mặt phẳng) v>i mTt sai s' nhất '<nh. BĂc lĂm toĂn quĂ thuần tuĂ nĂn 'oạn nĂy ta khĂng '"ng quy.! KhĂng sao cả. Hy vọng bĂc cĂ cĂch chứng minh cĂi Ă : '' delta cĂng nhỏ, phĂp tĂnh cĂng chĂnh xĂc''.
(Bỏ cĂu từ 'i..)