Hứng thú với toán học? ( những bài toán thú vị không theo chuyên đề) COME IN !

Xin phép hỏi một câu, cái chỗ vàng vàng đó là chính xác hay là "tớ biết" là đúng hơn?
Với lại xin hỏi mấy người dùng chữ sơ cấp ở đây nghĩ là sao? từ đâu đến đâu thì gọi là sơ cấp? Đề nghị xem lại định nghĩa tóan học của cái này :
x1+x2+..............= sigma(n=1 to infinity)xn là cái gì?
Đn đó là định nghĩa chuỗi, nghĩa là khi mà bạn viết cái tổng đó nghĩa là bạn đã phải dùng kiến thức lý thuyết giới hạn rồi. Còn cái mà thohry trình bày về bản chất cũng phải dùng khái niệm giới hạn thôi(để chứng minh, tôi sợ lại gây ra tranh cãi về tóan học mô tả và toán học chặt chẽ ở đây), chẳng qua nó minh họa rất hay nhưng thiếu gì cách minh họa. Cách minh họa đơn giản trên đọan thẳng độ dài bằng 1 cũng okie mà.
Nhưng chủ yếu là cái sơ cấp của chiaki là gì vậy? chiaki có biết thông thường người ta nói tóan mà các trường sinh viên ĐH học (trừ SV ngành Tóan ra) được gọi là tóan sơ cấp không? những cái như toán A1, A2, A3 cũ là tóan sơ cấp đấy.
[/quote]
Bài dùng hình ảnh trên để tìm tổng của chuỗi quả thực là ngày truớc (có lẽ hồi cấp II) tớ đã gặp đâu đó nên nhớ lại.
Bây giờ các bác thử dùng cách đó (diện tích) để tính tổng của chuỗi:
S=1/3+1/9+1/27....
và tổng quát hơn
S=1/a+1/a^2.... với |a|>1
To all: Báo cáo với các bác là em không phải dân chuyên toán và cũng không phải học ngành toán nên nếu có điều gì mình nghĩ ra được mà lại đã có trong sách rồi thì mọi người chớ cười. Góp ý là okie rồi.

Sơ cấp à, tớ nghĩ ra một cách cực đơn giản và ''''sơ cấp'''' nữa. Giả sử mình có 1 hình vuông cạnh = 1. Kẻ đường chia 2 lấy 1/2, phần còn lại chia 2 tiếp và lấy 1/2. Cứ thế thì tổng số diện tích lấy được sẽ là S = 1/2+1/4....1/2^n.. . Khi n -> vô cùng thì tổng S cũng không thể vuợt quá cả hình vuông, do vậy tổng của nó ==>1.
Hình minh họa:

[/quote]
Hoàn toàn đúng ý của mình rồi. Mà cũng nói thêm luôn không phải mình giải mà mình đã biết lời giải này ở đâu đó từ rất lâu rồi. Mình cũng đã thắc mắc liệu có nhiều tổng vô hạn có thể sử dụng cách giải quyết đơn giản đó không. Như bài của thory đưa ra chẳng hạn. Dù vậy hiện tại mình không có ý tưởng nào hết
@danggiaothong: Toán học cấp 1, 2 và đầu cấp 3 hầu hết là sơ cấp thì phải. Mình không rõ lắm chỉ biết có sự phân biệt. Chẳng hạn lên đại học chúng ta học toán cao cấp, vậy thì hẳn phải có sự khác nhau. Lí thuyết chuỗi là mới đối với mình nên có lẽ nó là cao cấp chăng

@meofmaths: Toán học mà mình học ở ĐH ( một trường không chuyên nghành toán, và toán cũng không được sử dụng nhiều ) thì được gọi là "toán cao cấp" trong đó có giới hạn và tích phân. Giới hạn được học ở cấp 3 khá đơn giản, dường như chỉ mới làm quen nhưng ở "toán cao cấp" sinh viên phải giải thành thạo. Vì hiểu biết của chiaki hạn hẹp mong mọi người đừng bắt bí nữa nhé
@thory: Bạn không học chuyên toán nhưng mình thấy bạn rất giỏi toán đấy chứ. Nhiều khái niệm bạn sử dụng mình cũng không biết là cái gì nữa

Bài này mà dùng giới hạn thì ra luôn rồi. S = 1/(a -1) - 1/{(a -1)xa^n} tiến tới 1/(a - 1) khi n tới vô cùng, như vậy với a = 3 thì S = 1/2

Bài này dùng diện tích có lẽ không hay lắm đâu. Chẳng hạn với a = 3. Chia hình vuông cạnh 1 thành 3 phần, giữ 2 phần hai bên, phần ở giữa sẽ được chia tiếp thành 3 phần, lấy tiếp mối bên một phần, giữ phần ở giữa và chia tiếp, cứ thế sẽ thấy ngay diện tích hình vuông sẽ được chia làm hai phần bằng nhau mà diện tích mỗi phần đều bằng tổng S = 1/3 +.... Vậy S = 1/2

Thì chuỗi x^n với |x|<1 đã có công thức và chứng minh khá dễ dàng. Làm theo kiểu diện tích không chắc hay hơn, nhưng đó là một cách khác, nhiều khi giúp cho tư duy không theo lối mòn. Bác làm luôn với a bất kỳ với trị tuyệt đối > 1 coi.

Với a bất kỳ >1. Hình vuông sẽ chia thành a phần, một bên lấy 1 phần, 1 bên a - 2 phần, phần còn lại ở giữa chia tiếp và lấy tiếp như vậy đến vô hạn. Nhận thấy mỗi phần của một bên sẽ luôn = a -2 phần của bên kia, vậy sau khi đã phủ kín hình vuông, diện tích hình vuông = 1 = S + (a-2)xS => S = 1/(a-1)
Nhưng không thấy hay tí nào, chỉ là minh họa cho dễ hình dung hơn thôi
Mà |a| > 1 nghĩa là a có thể âm? Vậy thì mình chưa nghĩ được vẹn toàn.

Ở đây mình không phải bắt bẻ, đối với dân ngành
tóan mà nói, Tóan mà các ngành không phải ngành Tóan ( có lẽ chỉ có dan Tóan KH và sp) được học đa số là Tóan sơ cấp, bạn cũng nên biết là trong chương trình cao học tóan có cao học tóan sơ cấp cũng học các môn liên quan đến cái gọi là Tóan cao cấp của bạn đó. Về bản chất thì giữa Tóan ĐH (ngành không phải tóan) và Tóan phổ thông sự lặp lại rất lớn, chỉ có điều sâu hơn nhiều mà thôi.
Thực ra chữ sơ cấp hay cao cấp ở đây là cách dùng mà thôi, không rõ bắt nguồn từ đâu. Đối với mình và đa số những người được học tóan khác mà nói thì có thể chia ra là tóan sơ cấp và tóan "hiện đại", mình dùng chữ đó vì mình cũng không biết gọi thế nào. Nó bắt đầu gồm những môn cơ sở Tóan cơ bản đối với người học Toán như môn Đại số hiện đại, Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo tích phân, không gian metric, không gian topo, giải tích lồi, cơ sở giải tích ngẫu nhiên,... (trong bộ sách Giải tích hiện đại cũ của GS Hoàng Tụy bao gồm các phần không gian metric, Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm,...) rồi sau đó là vô vàn những nhánh nhỏ khác.
Bài tóan tính tổng vô hạn bản chất là tính giới hạn của tổng hữu hạn ( hồi mình học trong sách 11 hay sao đó), vì vậy dùng những kiến thức về giới hạn để giải, những cái về hình học chỉ mang nghĩa mô tả, minh học mà thôi. Cách làm này dễ hiểu nhưng không phải là hoàn toàn chặt chẽ vì nếu dựa vào trực cảm như vậy sẽ dễ mắc sai lầm kiểu như nghịch lý Asin chạy đuổi rùa. Khi đó muốn chỉ ra sai lầm lại phải dùng đến lý thuyết giới hạn. Mình cũng không dám bắt bẻ ai ở đây, chỉ cho rằng theo quan điểm của mình là Toán thì phải chính xác và chặt chẽ.
Được meofmaths sửa chữa / chuyển vào 23:44 ngày 16/07/2007

Cái này mình không hiểu lắm. Một tổng hữu hạn mà có giới hạn là sao nhỉ? Bạn có thể vui lòng giải thích không?

theo định nghĩa thì
x1+x2+x3+......=sigma(n=1 to infinity)xn=lim (n /to infinity) sigma(k=1 to n) xk. (nếu lim trên tồn tại)
Tốt nhất bạn kiếm quyển sách Toán nào đó có phần chuỗi để xem thử cái cách viết "x1+x2+x3+......" nó bắt đầu xuất hiện từ đâu và quy tắc tính như thế nào chứ không phải tính theo cảm giác mà được .