Hứng thú với toán học? ( những bài toán thú vị không theo chuyên đề) COME IN !

theo định nghĩa thì
x1+x2+x3+......=sigma(n=1 to infinity)xn=lim (n /to infinity) sigma(k=1 to n) xk. (nếu lim trên tồn tại)
Tốt nhất bạn kiếm quyển sách Toán nào đó có phần chuỗi để xem thử cái cách viết "x1+x2+x3+......" nó bắt đầu xuất hiện từ đâu và quy tắc tính như thế nào chứ không phải tính theo cảm giác mà được . Tất nhiên là một số cách MINH HOẠ trên cũng thú vị.
Tặng bạn một bài toán và lời giải theo cảm giác.
Tính S=2+4+8+16+........
Giải :
Ta có 2*S= 4+8+16+.....
suy ra S=2+2*S =>S=-2.
Được dangiaothong sửa chữa / chuyển vào 15:56 ngày 18/07/2007

Bạn không đọc kĩ bài của mình. Một tổng hữu hạn các số có giá trị xác định thì nó xác định chứ không phải là giới hạn. Giới hạn chỉ dùng với khái niệm chuỗi vô hạn thôi.
Bài nguỵ biện của bạn: S = 2 + 4 + 8 + 16 + ... Ở đây tổng S không hội tụ, nó không có giá trị cụ thể.

À, thì ra bạn chỉ ra sai sót trong câu chữ chứ không phải là... okie. Vy thì nó là tính giới hạn của dãy các tổng hữu hạn, như vậy bạn đồng ý chưa?
Ngoài ra tôi muốn nói là khi tôi tham gia trong các ví dụ này vì tôi cho rằng bài toán tính tổng vô hạn chỉ được đặt ra trên cơ sở lý thuyết giới hạn, đó là ý chính của tôi. nếu mà dangiaothong có ý kiến gì khác thì đề nghị post lên để tham khảo.
Được meofmaths sửa chữa / chuyển vào 16:43 ngày 18/07/2007

Tặng bạn một bài toán và lời giải theo cảm giác.
Tính S=2+4+8+16+........
Giải :
Ta có 2*S= 4+8+16+.....
suy ra S=2+2*S =>S=-2.
Viết thế không đúng.
Phải tính tổng với một số hữu hạn hoặc hội tụ. Ví dụ bài trên phải viết là tính S = 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^n ==>
S = 2.(2^n - 1)

Mình không soi lỗi chính tả đâu, nhưng mà lỗi dùng từ như trên thì hơi lớn, vậy thì cũng nên sửa đúng không.
Mình không có ý kiến gì thêm về bài của bạn. Bạn biết đấy, mình vẫn phải tìm mấy cuốn sách về chuỗi để đọc mà! Trình còn thấp lắm !
Thoải mái đi nhé! Viết nhầm một tí thì sửa thôi, đúng không?

Trích hai bài của dangiaothong và Fromthestars
Tất nhiên ai cũng biết là tính tổng theo cách của tôi đã trình bày là sai. bài tóan đó có ba bước suy luận:
bước 1: khẳng định 2*S = 4+8+ ....(=sigma (n=1 to infinity)2^(n+1))
bước 2: suy ra S= 2*S+2
bước 3: từ bước 2, suy ra S=-2
vậy các bạn có thể cho tôi biết là sai ở bước nào không?

Bước 2

Theo mình nghĩ thì sai ngay từ bước 1 (tất nhiên bước 2 cũng sai nhé)
S là một tổng không hội tụ, tức là không có giá trị cụ thể, nên lấy 2*s cũng không xác định giá trị cụ thể. Tóm lại không thực hiện phép tính gì với số mà mình không biết nó bằng bao nhiêu.

Bài này trong diễn đàn đã có một câu tương tự rồi : Tính tổng của : S=1+10+100..~ Một chuỗi phân kỳ thì không có tổng vậy chỉ cần đặt ra vấn đề tính tổn thì đã sai rồi.
Các bác giở ngược về trước vài trang.
Quay chở lại ý của bác meofmath về tính tổng của một chuỗi hội tụ, chính là tính giới hạn của tổng một chuỗi hữu hạn. Thực ra bài tính tổng 1/2+1/4.. theo diện tích hình vuông cũng có thể áp dụng được.
Nhận thấy khi chia tới lần thứ n (hữu hạn) thì diện tích hình vuông luôn bằng tổng diện tích phần đã chia (mầu sẫm) và phần chưa chia (mầu sáng), nên ta có thể viết:
Sn = 1-sn (với s là phần diện tích chưa chia)
Ta lại có sn = 1/2^n

Do đó tổng S chính là giới hạn Sn khi n tiến tới vô cùng, hay:

S = lim Sn(n->~) = lim(n-->~)(1-sn) = 1 - lim(n-->~)(1/2^n)= 1

Đúng là sai lầm ở ngay bước đầu tiên, khi đó S=+infinity mà các phép toán ta đã học thì không có cộng trừ nhân chia có giá trị +infinity, đại khái là ta chỉ làm toán trên số thực (R), do đó khi viết 2*S là đã không có ý nghĩa rồi.
Trong một số trường hợp của toán hiện đại, người ta hay xét tập R*={R và hai giá trị +- infinity}, trên đó các phép toán liên quan đến vô cùng được định nghĩa như sau:
1) a+ (+infinity)=+infinity; a+ (-infninity)=-infinity, a là số thực
2) a*(+infinity)=-infinity; a*(-infinity)=-infinity; (a>0);
3) tương tự như trên với a<0;
4)(+infinity) +(+infinity)=(+infinity); (-infinity)+ (-infinity)= -infinnity.
Khi đó tập RU{+,- infinity} có tính chất compac (hiểu nôm na là mọi dãy đều có dãy con hội tụ đến một phần tử trong nó}, tính chất này là tính chất đặc biết của khoảng đóng trên R, tính chất compac là một tính chất rất mạnh được sử dụng trong nhiều ngành toán học.
Ngoài ra, với định nghĩa như vậy thì bước 1 của bài toán tính tổng không sai nữa. Nhưng lời giải của bài toán vẫn sai.