1. Tuyển Mod quản lý diễn đàn. Các thành viên xem chi tiết tại đây

IMO-Đề thi&Đáp án

Chủ đề trong 'Toán học' bởi Hihihahihi, 06/11/2002.

  1. 0 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 0)
  1. Hihihahihi

    Hihihahihi Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/10/2002
    Bài viết:
    92
    Đã được thích:
    0
    IMO-Đề thi&Đáp án

    41st IMO 2000



    1. AB is tangent to the circles CAMN and NMBD. M lies between C and D on the line CD, and CD is parallel to AB. The chords NA and CM meet at P; the chords NB and MD meet at Q. The rays CA and DB meet at E. Prove that PE = QE.
    2. A, B, C are positive reals with product 1. Prove that (A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) <= 1.
    3. k is a positive real. N is an integer greater than 1. N points are placed on a line, not all coincident. A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident. Suppose that A lies to the right of B. Replace B by another point B' to the right of A such that AB' = k BA. For what values of k can we move the points arbitarily far to the right by repeated moves?
    4. 100 cards are numbered 1 to 100 (each card different) and placed in 3 boxes (at least one card in each box). How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each, then the knowledge of their sum alone is always sufficient to identify the third box?
    5. Can we find N divisible by just 2000 different primes, so that N divides 2N + 1? [N may be divisible by a prime power.]
    6. A1A2A3 is an acute-angled triangle. The foot of the altitude from Ai is Ki and the incircle touches the side opposite Ai at Li. The line K1K2 is reflected in the line L1L2. Similarly, the line K2K3 is reflected in L2L3 and K3K1 is reflected in L3L1. Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle.

    ----------------------------
    Ai cần đề thi hoặc đáp án IMO năm nào thì nói nhé!Nếu có thể,tớ sẽ post lên!




    None
  2. decacvn

    decacvn Thành viên rất tích cực

    Tham gia ngày:
    20/10/2002
    Bài viết:
    1.377
    Đã được thích:
    0
    nhưng toàn tiếng anh thì cũng khó nhai lắm bác ạ
    thanhhai
  3. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
  4. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Đừng post đáp án vội. Để mọi người nghĩ chút xem sao. Tôi làm thử bài 2 ,mọi người cho ý kiến nhé.
    Bài 2 (tạm dịch) : Cho ba số thực dương a, b,c có tích bầng 1. Chứng minh (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) <=1
    Trước hết chứng minh : trong 3 số a-1+1/b ,b-1+1/c, c-1+1/a có không quá một số âm. Thật vậy ,giả sử a-1+1/b <0 và b-1+1/c <0 . Suy ra a-1+1/b+b-1+1/c <0. Nhưng b>0 nên b+1/b>=2 . Vậy a-1+1/b+b-1+1/c= a+1/c+b+1/b -2 >=0. Mâu thuẫn chứng tỏ trong 3 số a-1+1/b, b-1+1/c, c-1+1/a có không quá 1 số âm.
    Nếu có 1 số âm thi bất đẳng thức trên là đúng. Ta xét trường hợp cả 3 số không âm.
    Đặt S=(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) . Vì abc=1 nên :
    a-1+1/b = a-abc+ac=a(1-bc+c)
    b-1+1/c = b-abc+ab=b(1-ac+a)
    c-1+1/a = c-abc+bc=c(1-ab+b)
    Vậy :
    S = a(1-bc+c)b(1-ac+a)c(1-ab+b)
    S = (1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b) (1)
    Lại thay 1=abc vào (1) sẽ được :
    S = (abc-bc+c)(abc-ac+a)(abc-ab+b)
    S=c(ab-b+1)a(bc-c+1)b(ac-a+1)
    S=(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1) (2)
    Nhân 2 vế của (1) và (2) ta có :
    S^2 = (1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b)(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1)
    Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế phải sẽ được : S^2 <=1 .
    Suy ra : S<=1.
    Dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

  5. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Bài 1: AB là tiếp tuyến của 2 đường tròn CAMN và NMBD. M là điểm nằm giữa C và D và ở trên CD và CD song song với AB. Hai dây cung NA và CM cắt nhau ở P, hai dây cung NB và MD cắt nhau ở Q. Các tia CA và DB cắt nhau ở E. Chứng minh: PE=QE
    Để mọi người tiện theo dõi tôi post thêm cái hình dưới đây.
    Gọi I,O là tâm của 2 đường tròn . AB là tiếp tuyến chung nên AI
    và OB vuông góc với AB ,do đó vuông góc với CD. Vậy AI chia đôi CM và BO chia đôi DM . Từ đó suy ra AB=1/2CD .Nên AC=AE và BE=BD . Lại có AM=AC=AE nên tam giác CEM vuông ở M . Vậy để chứng minh EP=EQ chỉ việc chứng minh PM=QM.
    Xét 2 tam giác đồng dạng ACP và MNP ta có : PM/MN=AP/AC.
    Tương tự với 2 tam giác BQD và MQN sẽ có : QM/MN=BQ/BD.
    Vậy để chứng minh PM=QM chỉ việc chứng minh AP/AC=BQ/BD.
    tức là chứng minh : AC/BD=AP/BQ (1).
    Vì PQ//AB nên AP/BQ=AN/BN (2).
    Lại có : <CAN= <CMN và <DBN= <DMN (< là ký hiệu góc). Suy ra <CAN+ <DBN=<CMN + <DMN= 180. Vậy <EAN+ <EBN=180. Tứ giác AEBN nội tiếp một đường tròn. Do đó <ENB= <EAB. Vì AB//CD nên : <EAB= <ACM . Vì AI chia đôi CM nên <ACM = <AMC = <ANC.
    Vậy <ENB= <ANC. Lại có <CAN =<EBN . Vậy 2 tam giác CAN và EBN đồng dạng . Do đó : AN/BN = AC/BE = AC/BD (3).
    Từ (2) và (3) suy ra (1). Bài toán được chứng minh.
    P.S : Chủ đề có đến 100 người đọc mà không thấy ai nói gì. Mất nhuệ khí quá. Biết có nên post nữa hay không ...
  6. King_of_god_new

    King_of_god_new Thành viên rất tích cực

    Tham gia ngày:
    22/03/2002
    Bài viết:
    1.744
    Đã được thích:
    1
    Cảm ơn, bạn,mình vẫn đang theo dõi bạn làm đấy chứ, nhưng phải ổn định tinh thần mới có thể"thấm " được mà!
    Gắng lên đi, tớ tin là bạn làm được nhiều điều hơn thế, đừng nản nhé,!
    Thân!
    Để chú ý đến nguời ta chỉ cần 1', để thích nguời ta chỉ cần 1h, để yêu người ta chỉ cần 1ngày nhưng để quên ngươì ta thì phải mất cả đời!
  7. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Híc, nghe king of god (nick gì mà sợ thế : lại có cả vua của chúa trời cơ à ) động viên cứ như lời ông thầy cấp 3 của mình , thấy mình trẻ lại vài tuổi, sướng thật
    Lâu rồi không làm toán phổ thông ,suy nghĩ không được nhanh nhạy cho lắm nhưng cứ nhìn thấy lại ham , lại muốn cầm giấy bút mà nháp thử.
    Hi vọng cái box này sẽ trở thành nơi tập hợp nhiều hơn nữa những người yêu toán. Cụng với các bạn một ly gọi là làm quen.
  8. nguoiiuaodai

    nguoiiuaodai Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    14/02/2003
    Bài viết:
    129
    Đã được thích:
    0
    bác zcar ui, hình như bác có vài chỗ nhầm lẫn rồi đấy ạ. đó là 3 điểm E, M, N ko hề thẳng hàng và tứ giác AEBN cũng ko nội tiếp được thì làm sao mà góc EAB = góc ENB được.
    Bài này ta phải nối M,N lại với nhau và chúng sẽ cắt AB tại 1 điểm, sau đó sử dụng phương tích sẽ ra.
    AH này, mấy bác ui, post thêm vài đề IMO nữa đi nhưng mà dịch sang tiếng Việt được ko, em đọc hỏng hiểu gì hết áh
  9. home_nguoikechuyen

    home_nguoikechuyen Thành viên rất tích cực

    Tham gia ngày:
    15/05/2002
    Bài viết:
    3.846
    Đã được thích:
    7
    Hi!!Bác Hihahi gì đó ơi!!!
    Về tiếng anh thì có trang này rùi:
    http://www.imo2002.com/imo.asp?area=home
    Mọi người có thể tìm thấy đủ đề thi và đáp án IMO các năm, và đề dự tuyển.Cốt là tiếng việt thôi!!!!Ngại dịch lắm. Nếu bác có lòng thì dịch hộ mọi người cái.
    Tiếng việt thì, các đề năm cũ. Hầu như là in thàng sách cả rùi.Như quyển các đề thi Toán quốc tế 16 năm đầu nè,rùi cuốn cá đề thi IMO nè....Chỉ có cuốn của trường KHTN là Tiếng anh thôi. Và các đề dự tuyển hầu như là tiếng anh.
    Thế mọi người, có ai có cái trang web thi Toán khu vực các nuớc nhỉ. Như từ trước đến nay, truyền thống thì có các kì thi của các nước hay như Nga, Mĩ, Rumani,Đức, nam Phi....Còn ở Nga có cái kì thi, Toán Mùa đông phải không???Hôm xem mấy đề thấy hay phết. Ai có không nhỉ????
    ------------------------------------
    Có khi mưa ngoài trời là giọt nước mắt em.
  10. nguoiiuaodai

    nguoiiuaodai Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    14/02/2003
    Bài viết:
    129
    Đã được thích:
    0
    home muốn đề thi của các quốc gia khác hả? Mình có nè nhưng mà toàn là tiếng Anh ko hà, ngay cả đề thi của Viet Nam cũng bằng tiếng Anh nốt
    www.kalva.demon.co.uk

Chia sẻ trang này