integer

các bạn giúp mình giải bài toán này nhé. Thks kiu nhìu.
Find all integers x, y with x^3 + y^3 = 6xy.
Chắc các bạn đọc cũng hiểu hen. Mình tạm dịch sơ vậy:
Tìm tất cả các số nguyên, biết x^3 + y^3 = 6xy.
Mình không biết cách gõ số mũ, các bạn xem đỡ vậy nhé.

Chỉ cần giải được pt này^3+y^3=2xy là giải được pt đó

Biện luận vài câu,
không thể có chuyện x va y cùng âm
nếu x dương, y âm thì đặt z=-y ta có
x^3-z^3=-6xz
hay (z-x)((z-x)^2+3zx)=6zx
dat a=z-x>0
b=zx>0
xac dinh duoc 3b=(a^3)/(2-a)
suy ra a chia het cho 3 va nho hon 2, ko co nghiem kha thi trong truong hop nay,
giả sử x và y cùng dương
sử dụng bất đẳng thức cosi xác định được tich xy nho hon 9
nhu vay tong x+y khong vuot qua 10
tuong tu, dat b=xy, a=x+y, xac dinh duoc 3b=(a^3)/(a+2)
vay a chia het cho 3 ma a<=10 xac dinh duoc a=6 de b co nghiem duong
vay x=y=3

Giải chưa đúng, thiếu nghiệm x=y=0.
Ngoài nghiệm đó ra thì x và y phải khác 0.
Đặt d = UCLN(x,y) , d>0 thì : x=a.d ; y=b.d , UCLN(a,b)=1.
Thay vào pt có : d(a^3 + b^3) = 6ab
Suy ra d = k.a.b, thay vào pt có : k(a^3 + b^3) = 6.
Chú ý là a,b không cùng âm nên có các TH sau:
+ a>0,b >0 : ta thấy 1^3+2^3 >6 ; do vậy chỉ có a=b=1 và có k=3.
Suy ra d=3 và x=y=3 là nghiệm.
+ a,b trái dấu: thì |a| khác |b| nên đặt c = max(|a|, |b|) thì c>=2.
Khi đó : |a^3 + b^3| >= c^3 - (c-1)^3 >= 2^3 - 1 = 7 > 6.
Vậy không có a,b thoả mãn pt.

Bạn ơi cho mình hỏi 1 câu hơi ngớ ngẩn là tại sao a, b ko thể cùng âm vậy?

Hơ hơ nếu a,b cùng âm thì VT âm còn VP dương

1>>giả sử x * y /= 0
ta thấy
x^3 + y^3 = 6xy
<=> x^3 - 6xy = - y^3 v y^3 - 6xy = -x^3

( 1 ) ( 2 )
từ ( 1 )
x | x^3 -6xy => x | y => y= p * x ( ở đây p là số nguyên)
từ ( 2 )
y | y^3 - 6xy => y | x => x =q * y ( ở đây q là số nguyên )
từ đó ta có được y = p*q*y ( chia cả 2 vế cho y /=0 )
<=> 1= p*q
=> p=q =1 v p=q=-1
** khi p=q=1 => x=y thay vào phương trình ban đầu ta được 2 * x^3 = 6 * x^2 ( chia cả 2 vế cho 2 * x ^ 2 /= 0 )
<=> x = 3 => y =3
** khi p=q=-1 => x=-y thay vào phương trình đầu ta được 0 = - 6* y^2 => y=0 => x =0 không phù hợp điều kiện x*y /=0
2>> x * y = 0
=>> x ^ 3 + y ^3 = 0
từ đây dễ dàng tìm được
x = y = 0
kết quả : x=y=0 && x=y=3

Theo tôi hiểu thì bạn dùng kí tự "|" nghĩa là chia hết hay là ước của...
Nhưng x | x^3 -6xy là điều luôn đúng, sao lại suy ra x | y ???
Mà sao lại từ (1) hoặc (2) suy ra cái trên. Từ pt ban đầu chỉ suy ra đưọc là y | x^3 và x | y^3 thôi.

Do tính đối xứng, có thể giả sử x>=y
vi? x,y không thê? đô?ng thơ?i nho? hơn 0 nên x>=0
khi đó 6x2>=6xy>=2x3 suy ra 0<=x<=3
lại có y la? ước cu?a x3 mà x là số nguyên tố hoặc là 0, 1 nên trị tuyệt đối y bằng x.
y=-x khi đó y=x=0
y=x thì y=x=3.

Hơi nhầm hay sao ý, 6xy = x3+y3 <=2x3 chứ.