Luận bàn 1: Toán cấu trúc: học Toán như Trương Vô Kỵ học Thái cực kiếm!

Luận bàn 1: Toán cấu trúc: học Toán như Trương Vô Kỵ học Thái cực kiếm!

Tại hạ có thể được xem là người học Toán, mở mắt nhìn thấy thế giới Toán học bao la mà sợ hãi. Lại buồn vì thấy một số (hy vọng những cao nhân ở đây bỏ quá cho, đệ chỉ nói một số thôi) huynh đệ ngày ngày nằm trong giếng mà đố nhau 1+1 bằng mấy, cũng muốn bỏ cuộc cho rồi, có vẻ charmquac là một người như vậy. Nhưng cũng muốn đóng góp chút gì đó cho mọi người biết về những cái gì mà tại hạ thấy. Phải nói thêm là chắc chắn còn vô số thứ mà đệ chưa thấy nên đệ chỉ gợi vài ý thôi.

Một trong những khái niệm cơ bản đầu tiên của Tóan học là khái niệm phần tử và tập hợp, cái mà ai cũng có thể nói là biết rồi. Vậy những cái gì có thể phát triển dựa trên phần tử và tập hợp? Nếu nói về nội tại thì có thể tìm hiểu về những cái như là"quan hệ tình cảm", liên hệ giữa các phần tử trong tập hợp đó. Nếu nói về liên hệ "bên ngoài" thì có thể nói như là ánh xạ, là "hình ảnh" của "anh" trong mắt "em",...; như phép đếm phần tử,..." Rồi sau đó mở rộng ra dần dần ra mãi mãi. Những ứng dụng hay những vấn đề mới của cuộc sống đưa đến hằng hà sa số những lý thuyết Toán mới để giải quyết nó mà khi ta biết đến nó sẽ thấy bất ngờ và thú vị.

Thôi tại hạ không lan man nữa, Khi tại hạ học môn Đại số hiện đại cảm thấy cực kỳ thú vị nên muốn giới thiệu qua chút cho mọi người.
Trong một tập hợp thì có những tập hợp mà những phần tử có các mối "quan hệ", mối tương tác. Ví dụ như trong tập số tự nhiên có các quan hệ lớn, bé, bằng, chia hết, đồng dư, ...(nói về cái chuyện quan hệ này cũng tốn rất nhiều bút mực của giới Toán học), ví dụ như các mối tương tác +,-,*, :. Ví dụ như: 5+3 hiểu là phần tử được ký hiệu là 5 "tương tác" với phần tử có ký hiệu là 3, ở đây cái tương tác đó được ký hiệu là + . Như vậy trong một tập hợp bạn có thể xây dựng nhiều mối tương tác, và trên đó sẽ tìm hiểu những tính chất trên đó. Các "tương tác" bình thường như +, -, *, : được phát triển dựa trên tính tự nhiên hay hồn nhiên của nó, những tính chất đặt biệt hơn thì được con người phát hiện muộn hơn, ví dụ như số âm, số 0, số ảo, phép tích hữu hướng...
Tóan học định nghĩa một loại tương tác gọi là "phép tóan".
Cho tập hợp G khác rỗng cho trước.
Định nghĩa chặt chẽ của một phép toán T trên G là định nghĩa dựa trên ánh xạ T: GxG vào G, biến mỗi cặp (a,b) thuộc GxG thành một phần tử của G. Khi đó ta có thể viết là T : (a,b) biến thành c nào đó thuộc G và để dễ hiểu hơn, người ta ký hiệu aTb=c.

Như vậy thì theo định nghĩa trên, phép + thông thường là "phép tóan" trên tập số tự nhiên còn phép - và chia thông thưòng thì không phải là phép tóan trên tập số tự nhiên.
phép tóan T được gọi là có tính giao hóan nếu aTb=bTa, được gọi là có tính kết hợp nếu (aTb)Tc=aT(bTc). có phần tử trung hòa (hay phần tử 0)nếu tồn tại phần tử e trong G sao cho aTe=eTa=a với mọi a thuộc G.
Vậy với quy tắc trên, ta có thể xây dựng một phép tóan của ta và tìm hiểu xem nó có giao hóan không, kết hợp không, có phần tử trung hòa hay không?
Chú ý rằng nếu phép tóan T được ký hiệu theo lối nhân thì phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị.

Đến đây sẽ có thắc mắc ? vì sao phần tử 0 và phần tử đơn vị lại có thể lẫn lộn với nhau vậy? Đó cũng là cái khó của việc học môn này mà cquá cứng nhắc, nhớ cái cũ nhiều quá. Ở đây nó chỉ là cách gọi, điều quan trọng nhất là nắm đặc điểm của nó. (aTe=eTa=a)

Đó là phần mở đầu về môn Thái cực kiếm trong tóan học.

Một câu hỏi mà trong môn tóan này có là " Khi nào 1 bằng 0?" Các bạn có tin không? Nếu ai học môn này rồi sẽ thấy bình thường!

Chả có gì mới, nếu không muốn nói là vô bổ, cũng như một số bài viết khác của bạn.

Mấy cái tôi vừa đề cập ở trên là "giới thiệu" các bạn làm quen với lý thuyết nhóm, các bạn có thể tìm hiểu trên wikipedia, search "group theory" hoặc trên wikipedia tiếng việt, tìm từ "lý thuyết nhóm", tất nhiên trên en/wiki thì đầy đủ hơn. Mục đích của tôi là giới thiệu cho những ai tò mò ngoài mấy cái được học trong chương trình phổ thông thì Toán còn có những cái gì nữa? Cũng xin nhắc lại là vốn Toán của tôi không những "chẳng có gì mới", mà còn rất hạn chế!

Vâng, khi anh cung cấp cho user phần mềm hiện đại mà không hướng dẫn sử dụng thì cũng vô nghĩa thôi.

Các bạn lên wiki tiếng việt tìm hiểu "nhóm", sau đó tìm hiểu "vành". Ta hiểu vành là một tập hợp khác rỗng được trang bị hai phép toán, một ký hiệu theo lối nhân và một ký hiệu theo lối cộng; hai phép toán đó phải thỏa mãn một số tính chất gì đó (xem thêm). Một câu hỏi đặt ra là khi nào thì 1=0? Hiểu là phần tử đơn vị trùng với phần tử trung hòa!
Tôi xin chép lại một ví dụ quen biết: xét S là tập hợp chỉ có 1 phần tử a và trên S ta định nghĩa "phép cộng" :a+a=a; "phép nhân" a.a=a; khi đó thì S là vành có tính chất "1=0".
Với lý do là khi học môn này mà quen với suy nghĩa về các phép toán thông thường sẽ rất khó chịu nên tôi hay nói đùa là muốn học môn này phải quên hết những cái đã biết như kiểu Trương Vô Kỵ học Thái Cực Kiếm, chỉ học "kiếm ý" không học "kiếm chiêu".
Tôi cũng muốn gõ tưòng minh nhưng sợ bạn ellene quá nên nói sơ sơ vậy thôi, hy vọng có người tò mò đọc chơi cho biết nó là cái gì. Tất nhiên biết ở đây không phải là biết để sử dụng làm gì như bạn ellene yêu cầu mà là để thỏa mãn trí tò mò và lòng yêu thích đối với môn Toán và cái "biết" đó chỉ là "nhìn thấy" mà thôi, còn bên trong ntn thì khuyến cáo là...... tìm hiểu rùi biết tại sao ta sợ!

Khiếp quá, bạn cứ lôi tôi vào thế. Bạn muốn viết gì cứ viết chứ tôi chả có ý kiến gì đâu.

Vành, trường.... là các khái niệm về toán logic đấy. Không thể nói giỏi về toán mà lại không giỏi về cái này được. Nó hoàn toàn là một tư duy toán học. Tuy nhiên vẫn chưa hiểu ý định của chủ topic làm gì?

Nhóm, vành, trường mà lại bảo là các k/n của toán logic á?
Của Đại số chứ?

Tớ muốn hướng chú ý của các bạn tìm hiểu Toán có cái gì lạ vì thấy mọi người chú ý giải toán sơ cấp nhiều quá. Các bài bên IMO anh em bên diễn đàn Toán cũng giải nhiều lắm, mà tớ sợ chỗ đông người! Tớ đang muốn nói thêm mấy cái như tìm hiểu về tích phân và các loại (cách) mở rộng của nó hoặc xem hình tròn có tròn hay không (liên quan đến định nghĩa khoảng cách trong không gian metric, nhưng nản rồi, nói xong mấy ý phần ĐS rồi giải lao đã. THực ra giới thiệu mục đích cho mọi người tự tìm hiểu để biết sơ sơ cái hình thù của Toán thôi (mà tôi đang đứng một góc để nhìn trái đất, nghĩa là chỉ nhìn thấy mấy mét vuông xung quanh), sau đó ai thích có thể tìm hiểu trên mạng, lý thuyết sâu thì tôi không chắc là có nhưng giới thiệt thì wiki cũng kha khá!