Lực hấp dẫn trong lòng Trái Đất

Lực hấp dẫn trong lòng Trái Đất

Thấy bên diễn đàn vật lý có 1 bài về vấn đề này khá là hay, chưa thấy ai giải được nên mang sang đây cho mọi người giải thử. (@mod: bài này nhìn sơ thì tưởng là vật lý phổ thông sơ cấp nhưng e là khó giải nổi bằng kiến thức phổ thông, thế nên tớ lập luôn topic mới nhé).

Đề bài đại loại thế này: chàng và nàng đang đứng tại 2 điểm bất kỳ trên bề mặt Trái Đất. Để đi đến được với nhau, chàng và nàng quyết định đào 2 cái hố giao nhau trong lòng quả đất. Sau đó, 2 người cùng nhảy vào trong mỗi hố để rơi tự do và gặp nhau sau một khoảng thời gian T. Giả sử mật độ vật chất trong lòng quả đất phân bố đều, bỏ qua tất cả lực cản và chỉ xét tác dụng của lực hấp dẫn từ quả đất, hỏi chàng và nàng phải đào như thế nào để có thời gian T ngắn nhất?

Không tính thời gian đào hố nhe mấy bác , và có thể đào theo đường cong bất kỳ chứ không nhất thiết phải đào theo đường thẳng.

Bám sát chữ nghĩa thì hai người phải đào trực tiếp thẳng vào tâm trái đất thì mới có hiện tượng rơi tự do, còn đào theo các kiểu khác thì phải nói là lăn trên mặt phẳng nghiêng.

em lại có ý kiến khác
nếu chúng ta đào thẳng vào tâm thì chúng ta sẽ ko rơi đc như ý muốn vì trọng lực hay lực hấp dẩn mặc dù là lực hướng tâm
nhưng nếu chúng ta đào 1 đường hầm như 1 bán kính thì khi đó chúng ta phải đào cho cái tâm của trái đất rổng luôn để hai đường hầm có thể gặp nhau
nhưng như vậy thì chúng ta làm trái đất rổng ở tâm nên có thể lực hấp dẩn sẽ thay đổi (như thế nào thì em ko bít)
=> ko phải là biện pháp tốt
khúc trên em ko bít nói sao
nếu sai mấy bác góp thêm ý dùm hen

Cám ơn Mr_Hoang đã giải thích thêm đề bài.
Ở đây ta xem như lượng đất đá đào được lấy ra là không đáng kể so với quả đất, không làm thay đổi lực hấp dẫn của quả đất lên 2 người kia.

Đầu bài có vẻ rắc rối ! .
Hai người cứ đào thẳng vào tâm sau đó nhảy xuống là dính ở đáy ngay (nếu họ dùng xẻng dài bằng bán kính R) vì nếu không thì đào xong đã ngồi ở đáy rồi, khỏi phải nhảy.
Lực hấp dẫn của quả đất được tính theo công thức :
F = k*p*r
với : p : khối lượng riêng của QĐất (đồng đều)
r : khoảng cách của người đó tới tâm
k : hằng số = 4G*pi/3 (pi =3.14..)
Như vậy nếu họ đào 2 hố chạm nhau ở tâm QĐất và nhẩy xuống chắc chắn sẽ gặp nhau ở đáy sau 1 thời gian T. T có thể tính được.
Giả sử họ đào thông từ bên này qua bên kia (qua tâm trái đất) , khi nhẩy xuống họ sẽ dao động cùng chu kỳ (giống như con lắc) mà không phụ thuộc vào khối lượng của mỗi người, và nếu nhẩy lệch pha thì sẽ không bao giờ gặp nhau được . Thời gian T ở trên =1/4 chu kỳ của dao động này.

Giả sử ta có một đuờng hầm xuyên qua tâm trái đất. Khi 1 nguời nhẩy xuống cái hố đó anh ta sẽ rơi xuống tới tận tâm trái đất, và theo quán tính, cũng như áp dụng luật bảo toàn năng luọng, anh ta sẽ trồi lên ở đầu kia của đuờng hầm. Tuy nhiển trong suốt quãng đuờng mà anh ta rơi, gia tốc trọng truờng không phải lúc nào cũng là 9,81 m/s2 . Gia tốc trọng truờng chỉ có trị số đó khi anh ta đứng trên mặt đất mà thôi, bởi vì khi anh ta rơi 1 đoạn đuờng thì trên đầu anh ta đã có một khối luọng đất đá khá lớn rồi, và lập tức nó sẽ tác động hút anh ta nguợc lại chiều đang rơi. Khi anh ta đến tâm trái đất thì các lực hấp dẫn đặt lên anh ta sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Lúc đó anh ta không có trọng luợng, nhưng do quán tính anh ta sẽ tiếp tục chuyển động rơi, nhưng rơi từ duới đáy lên miệng hố bên kia.
Vấn đề là gia tốc sẽ thay đổi trên suốt quãng đuờng anh ta đi qua và khoảng thời gian sẽ không như chúng ta tính toán với gia tốc 9,81 m/s2.
Được binh000 sửa chữa / chuyển vào 13:21 ngày 12/09/2006

Cho người nhảy xuống có vẻ hơi vô lý nhỉ? Thôi thì đổi lại đào 2 cái ống, thả 2 hòn bi cho nó lăn xuống, đào làm sao để cho thời gian 2 bi gặp nhau là ngắn nhất?
Có 2 cách đào dễ hình dung nhất: một là đào thẳng hướng về tâm trái đất (như bạn gì nói ở trên), hai là đào thẳng hướng về nhau (2 đường đào thẳng hàng). Ở đây có một điểm độc đáo là cả 2 cách trên tuy khác xa nhau nhưng lại cho thời gian T bằng nhau , với 2 vị trí xuất phát bất kỳ trên bề mặt trái đất. Cả 2 cách này đều không tối ưu.

Cái này thì tôi đoán thôi chứ không có tính cụ thể theo công thức là họ đào theo hình cong của trái đất ! Trừ khi hai người đứng đối xứng nhau thì đào thẳng xuống tâm trái đất ? Sao hả đúng không ????

Bài này hay, nó giúp ôn lại kiến thức hình, đại , lượng giác,
Đầu bài cho 2 người (2 viên bi) ở một vị trí bất kỳ trên mặt đất, do vậy có thể biểu diễn vị trí của mỗi người theo hình dưới đây:

Với góc alpha α xác định. 0<alpha <90
Hai người có thể đi theo 2 đoan thẳng AO và BO để gặp nhau ở tâm O và cũng có thể đi theo đoạn thẳng AB để gặp nhau ở trung điểm M.
Tôi đã tìm ra 1 kết luận là đi theo 2 cách trên đều mất một khoảng thời gian như nhau là xấp xỉ 20 giờ (1/4 chu ky, rất lạ là thời gian này không phụ thuộc vào bán kinh Trái Đất).
Để gặp nhau nhanh hơn, 2 người phải đi theo các đoạn thẳng trung gian là AK và BK.
AK tạo với AM một góc alpha 1. Alpha1 lớn hơn 0 và nhỏ hơn alpha. Bài toán chở thành tìm giá trị của alpha1.
Giải bài toán lượng giác ta tìm được alpha1=alpha/2 hay đường nhanh nhất để gặp nhau chính là đi theo phân giác của góc alpha.
Các phần biện luận khá dài nên không đưa ra đây.
Kết quả có thể chưa chính xác, nhưng thấy đẹp nên không kiểm tra lại.

Hôm qua tớ đã giải ra được kết quả giống haidelft, bằng phương pháp giải tích mất khoảng nửa trang A4. Tuy nhiên tớ đặt tham số alpha là góc AOB rồi giải theo ẩn là góc OAK nên không nhìn ra được đáp số lại đẹp như vậy. Bạn haidelft yên tâm rồi nhé, có người ra cùng kết quả
Lần sau post hình vẽ thì bạn hãy post bằng định dạng GIF để khỏi bị các artifacts.
Để ý cái nửa đường tròn đường kính OA mà bạn haidelft đã vẽ. Nếu đào vào trái đất theo một đường thẳng bất kỳ đến khi đụng vành nửa đường tròn thì thời gian rơi (lăn) từ A đến điểm đụng vành tròn sẽ là không đổi (bằng với thời gian rơi tự do từ A đến O). Bạn haidelft làm bằng giải tích hay hình học vậy ?