Lý thuyết giải tích.

Lý thuyết giải tích.

Chúng ta sẽ mở một chuyên đề về lý thuyết giải tích nhé. Tớ hy vọng đây sẽ là chỗ chung ta học tập giao lưu với nhau về môn giải tích như giải tích cổ điẻn, tô pô, giải tích hàm, giải tích phức (trừ xác xuất nhé). Các bạn biết được định lý hoặc bài tập nào hay (nếu là bài tập thì phải dùng đến lý thuyết hoặc mang tính đặc sắc có thể ứng dụng) thì post nên cho anh em cùng nghiên cứu. Nên bài chỉ cần tác giả cảm thấy hứng thú và hay là được và nếu người viết có lời giải sẵn càng OK. Ai yêu giải tích thì post những gì mình cảm thấy hứng thú lên nhé.
Tớ xin mở đầu bằng hai bài toán
1. Cho U là tập mở trong R^n và hàm f từ U vào R^m thoả mãn đồ thị Tf={(z,f(z)): z thuộc U} đóng trong (tích đề các) U * R^m thì tồn tại tập V mở trong U thoả mãn: bao đóng của V bằng U và f liên tục trên V.
2. Chỉ ra một hàm số không viết được dưới dạng hiệu của hai hàm tăng. (hàm này có thể chọn liên tục).
Ai có vấn đề gì hay thì gửi lên nhé.

Khó quá, chịu thôi, anh username có vào đây ko biểu diễn cho anh em cái !!!
mignon
P.S: Tìm ví dụ cho ham bất kỳ thì dễ ==> f(x)=0 khi x vo ty, 1 khi x huu ty, lien tuc thi chiu

Oái, mấy bài này khiếp thật!!
Bài 2 có thể dựa vào tính chất, hàm tăng thì khả vi hầu khắp nơi, ,nên hiệu của hai hàm tăng cũng vậy. Nên ta có thể chọn hàm liên tục không đâu khả vi ( hàm Weierstrass ) làm ví dụ!!
Hy vọng là có cách sơ cấp hơn

Hì hì, vừa rồi là cách giải "mi ăn liền"

Giả sử f=g-h
Giả sử f có tính chất là tồn tại a1 < a2 < a3< a4 < a5<...
f(a1)=A1 >0, -f(a2)=-A2 <0, f(a3) =A3 >0,... ( f đan dấu qua các điểm này )
Khi đó g(a3)=f(a3)+h(a3) >= A3+h(a2) = A3 + [g(a(2)-f(a2)] = A3+A2+g(a2) >=A2+A3+g(a1) = |f(a2)| + |f(a3)| + g(a1)
g(a5) > |f(a2)| + |f(a3)| + |f(a4)| + |f(a5)| + g(a1)...
.....
Nghĩa là qua những điểm đan dấu thì giá trị g tăng một lượng như trên

Với nhận xét như thế ta chọn f(x)=x.sin(1/x) ( =0 khi x=0, và do đó liên tục )
Ta chọn những điểm đan dấu là những điểm sin(1/x)=+-1; tức là xk=1/(kpi+pi/2) và |f(xk)|= 1/(kpi + pi/2)
Từ có g(1) - g(0) >= tổng giá trị tuyệt đối tại các điểm đan dấu
>= tổng các số dạng 1/(kpi + pi/2) = vô cùng
Tóm lại x.sin(1/x) là được rồi, không cần phải 0 đâu khả vi gì hết

Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 13:30 ngày 19/01/2005

Đồng ý với 2 đáp án của dichchimney. Cách thứ 2 bạn xây dụng một hàm liên tục nhưng không liên tục theo biến phân. Một hàm gọi là liên tục theo biến phân nếu như với mọi epsilon>0 đều tồn tại delta>0 sao cho với mọi dãy x_1, x_2, ..., x_k, y_1, ..., y_k thoả mãn |x_1-y_1|+ ...+|x_k-y_k|<delta thì |f(x_1)-f(y_1)|+...|f(x_k)-f(y_k)|<epsilon. Tất nhiên hàm lipsip là hàm liên tục theo biến phân ( tồn tại hằng số K để |f(x)-f(y)|=<K|x-y| ) .
Vì tớ nói là ở đây chỉ post những định lý hay hoặc bài tập mang tính đặc sắc có thể phát triển thôi.
Lời giải của mignon chắc là dựa vào định lý: Hàm tăng thì liên tục trừ đi một tập đếm được điểm.
Định lý: Hàm tăng thì khả vi hầu khắp nơi. Một kết quả tương tự: Hàm Lipsip dịa phương thì khả vi hầu khắp nơi.
Tiếp tục vấn đề bài 2.
2.1. Định lý "Hàm tăng thì khả vi hầu khắp nơi" có thay tập có độ đo Lơbe 0 bởi tập bé hơn không.
Được ht_sp sửa chữa / chuyển vào 14:19 ngày 19/01/2005

Tiếp tục nhé:
3. (Bổ đề Borel) Cho f từ [a, vô cực] vào [1, vô cực] là hàm không giảm, và f(a)>=1. Khi đó với mỗi m > 1, đều có bất đẳng thức
f[x+(1:f(x))]<m*f(x) đúng với một dãy tăng ra vô cùng. Tức là tồn tại dãy x_n tiến tới vô cực thoả mãn f[x_n+(1:f(x_n))]<m*f(x_n).

Em nghĩ bác hiểu sai ý nghĩa của ví dụ em xây dựng rồi. Hơn nữa việc xây dựng một hàm không liên tục theo biến phân chưa giải quyết được bài 2.
Cái em xây dựng ở bài 2 là một hàm có biến phân vô hạn. Còn hàm đơn điệu thì luôn có biến phân hữu hạn.
P/S: Bổ đề Borel này dùng làm gì vậy??

Đại khái cũng là biến phân thôi
Chú tìm được hàm đẹp thế !

OK, bạn nói rất chính xác.
Nếu f(x)=intlimits_a^x g(t)dt (tích phân từ a đến x của g(t)). Thì
f(x)=intlimits_a^x max(g(t),0)dt - intlimits_a^x max(-g(t),0)dt là hiệu của hai hàm tăng. Mà điều kiện cần và đủ để hàm f(x) viết được dưới dạng tích phân của một hàm là f liên tục theo biến phân. Tất nhiên hàm tăng thì không liên tục theo biến phân mà chỉ có biến phân bị chặn, ví dụ lấy hàm bậc thang.
Một hàm f liên tục theo biến phân thì có biến phân bị chặn, có biến phân bị chặn thì chưa chắc đã liên tục theo biến phân (ví dụ hàm bậc thang). Tuy nhiên nếu biết trước f liên tục thì hai điều này tương tương.
Bổ đề Borel được sử dụng trong giải tích phức Nevilina. Nhưng quan trọng là tớ rất thích cái gì nó không đúng trên toàn không gian nhưng đúng trên một tập không nhỏ đủ để dùng .
P/S: Bạn post vấn đề mình thích đi chứ.

Được ht_sp sửa chữa / chuyển vào 22:05 ngày 19/01/2005

Chuyển qua giải tích hàm. Chúng ta biết định lý Han-Banach: Cho A là không gian con của không gian định chuẩn E, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục từ A vào R đều thác triển thành thành phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào R giữ nguyên chuẩn. Bây giờ ta thay tập số thực R bởi không gian Banach F.
4. (định lý này đã có). Cho F là không gian Banach. Với điều kiện nào của F thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ A vào F đều thác triển giữ nguyên chuẩn lên E, với A là không gian con tuỳ ý của không gian Banach E tuỳ ý.