Lý thuyết giải tích.

Bài 1.
Đặt V={x thuộc U: f bị chặn trên một lân cận của x}. Khi đó hiển nhiên V mở và từ Tf đóng trong U*R^m nên f liên tục trên V. Lấy x_k tiến tới x thuộc V, ta chỉ ra f(x_k) tiến tới f(x), giả sử f(x_k) không tiến tới f(x) (mà dãy này bị chặn) thì { f(x_k) } có dãy con { f(x_k_j) } tiến tớ y <> f(x). Ta có (x_k_j, f(x_k_j)) tiến tới (x,y) mà Tf đóng nên (x,y) thuộc Tf, do đó y=f(x), muân thuẫn.
Ta chỉ còn chứng minh bao đóng của V bằng U. Tương tương với việc lấy tập mở bị chặn tuỳ ý W trong U, ta phải chứng minh V giao W khác rỗng. Ta đặt E_k = {x thuộc bao đóng W: |f(x)|=<k} là đóng vì Tf đóng trong U*R^m, thì ta có
bao đóng W = Hợp của các E_k với k=1,2,..... Do bao đóng W là compac nên nó là KG metric đầy. Theo định lý Bare (KG metric đầy không biểu diễn được hợp đếm được của các tập không đâu trù mật, ngược lại không đúng ví dụ R{0}) thì tồn tại k_0 sao cho phần trong E_k_0 (phần trong theo bao đóng W) khác rỗng, mà W mở nên tồn tại x_0 thuộc vào W và tập mở Z với E_k_0 chứa Z. Hiển nhiên U chứa Z, do đó U giao với W chứa x_0.

Không có ai thích giải tích? Ai yêu giải tích thì post vấn đề mình thích lên đi chứ.

Những ai đã từng học giải tích cổ điển thì có thể đã từng băn khoăn về những câu hỏi sau đây
- Tồn tại hay không một hàm liên tục tại các điểm hữu tỷ và không liên tục tại các điểm vô tỷ?
- Nếu một hàm số khả vi thì liệu đạo hàm của nó có thể không liên tục tại điểm nào hay không?
- Liệu có tồn tại một hàm liên tục trái tại mọi điểm nhưng không liên tục tại điểm nào?
- Hàm khả tích Riemann phải liên tục tại ít nhất bao nhiêu điểm?
Đây đều là những bài toán theo dạng nghiên cứu tập các điểm liên tục. Hai công cụ rất đắc lực cho việc này là định lý Baire về phạm trù và khái niệm dao độ.

- Định lý Baire ( trên đường thẳng thực ):đại ý là nếu hợp đếm được của các tập đóng chứa một đoạn thẳng thì một trong số đó cũng chứa một đoạn thẳng nào đó!!
- Dao độ của 1 hàm tại 1 điểm : các bạn có thể tự định nghĩa. Chú ý là dao động bằng 0 tại điểm nào thì đó là điểm liên tục.
Đây là các công cụ cần thiết để có câu trả lời thoả đáng cho các câu hỏi trên.

Hôm nay vào mathlinks xem mới biết chú dickchimney là ai , chú đang học về cái gì thế nhỉ ?
ht_sp thì chuyên nghiệp không nói rồi, nhưng trước anh cứ tưởng chú dickchimney chỉ là amatơ thôi , thảo nào chú biết mấy thứ kinh thế !

Cám ơn Dickchimney và Mignon những yêu Toán thực sự.

Còn bác mignon chắc nick mỗi nơi một khác!!
Tại mình không dám lấy nick lung tung, tại nhiều lần bị quên nick rồi