Mấy bài toán về đạo hàm trong GRE Math Subject Test

Mấy bài toán về đạo hàm trong GRE Math Subject Test

Các bác box toán giải đáp giùm em cụ thể nhé

Bài 1:


Bài 2:


Cám ơn nhiều

Bài 1 : f(x) khả vi và các giới hạn tại vô cực của f(x) và f?T(x) đều tồn tại hữu hạn.
Ta xét hàm f(x) = sinx/(1+x^2) thì f?T(x) = [cosx(1+x^2)-2xsinx] /(1+x^2)^2.
Hai hàm này đều khả vi và có giưới hạn tại vô cực là 0.
Suy ra các mệnh đề (D) và (E) ko nhất thiết đúng.
Mệnh đề (C) sai vì nếu có f(x) thỏa (C) thì đặt g(x) = f(x) + 1 thì g?T(x) = f?T(x).
Như vậy g(x) và g?T(x) thỏa mãn các điều kiện ban đầu nhưng ko thỏa mãn (C ).
Tính chất (A) và (B) là 2 t/c phải có. Ta chỉ cần CM (A), còn (B) tương tự.
Giả thiết phản chứng lim f?T(x) = K khác 0 (giả sử >0, trường hợp <0 làm tương tự) thì với mọi số e > 0 cho trước đều tìm được d>0 để với mọi x > d hay x< -d thì K-e< f?T(x) < K+e.
Vì K > 0 nên cố tình chọn e sao cho K-e >0.
Vậy với mọi x > x0 >d thì f(x) > f(x0) + (K-e).(x-x0). Vậy với x đủ lớn thì f(x) tiến tới vô cực suy ra trái giả thiết.
Suy ra đpcm.
Bài 2 :
Từ dạng của f''''(x) dễ dàng suy ra dạng của f(x) và đáp án (D) là đúng. Ta suy ra f(x) ko bị chặn là nhờ vào bài trên.

Cám ơn metamodel đã trả lời!
Bài 2 metamodel có thể giải thích rõ hơn được không? Phần I và phần III thì mình đã rõ rồi nhưng phần II để chứng minh f cũng có unique zero trong [0, vô cực) thì mình chưa hiểu.
Bạn nào có thể giải thích rõ hơn được không? Cám ơn nhiều

Để chị hướng dẫn cho em.
Nào, có phải là nhờ vào 3 giả thiết I, II, III em vẽ được bảng biến thiên của f'''' trên đoạn [0 , +vc] không?
Nó tăng từ 1 số âm là f''''(0)lên đến +vc. nên phải cắt Ox tại 1 điểm a. Thế thì hình như giả thiết số II là thừa.
Dựa vào các miền âm dương của f'''' , em vẽ bảng BT của f'', cuối cùng là bảng BT của f là xong.

thừa đâu mà thừa, nhỡ có nhiều điểm = 0 thì sao hả Ellenne, mà hình như đáp án C mới đúng. Thằng f = 0 ko có nghiệm duy nhất thì fải, chưa suy nghĩ kỹ lắm

Hay là heroes chưa đọc kỹ đề bài? Thằng f'''' từ giả thiết I và III suy ra nó tăng từ f''''(0) < 0 lên đên +vc. Vì nó là hàm tăng ( giả thiết I) nên chỉ cắt Ox tại 1 điểm gọi là a, nên giả thiết II là thừa cho f''''.
Suy ra thằng f'' nghịch biến từ 0 đến a và đồng biến từ a đến +vc.
Tức là giảm từ f''(0)<0 đến f(a) rồi tăng từ f(a)<0 đến +vc. tức là cũng cắt Ox tại 1 điểm b>a thôi.
Lại suy ra f''(x) < 0 với x<b và f''(x) > 0 với x>b. Thế thì f(x) giảm từ f(0)<0 đến f(b) và tăng từ f(b)<0 đến +vc. Rõ ràng f(x) chỉ cắt Ox tại 1 điểm thôi mà??

có thể hàm hằng = 0 trên 1 đoạn thì sao nhỉ?

Nhưng cái từ "increasing" hình như có nghĩa là tăng nghiêm ngặt đấy. mà như thế thì không thể có 1 đoạn = 0 được, heroes nhỉ?

Nhưng heroes có thể có lý vì nếu đề trên là nguyên bản thì ít có khả năng thừa , tức là từ "increasing" có nghĩa là không giảm.

Tôi nghĩ là chứng minh của bạn đúng cho (A), nhưng sẽ không áp dụng được cho (B). Vì trong chứng minh (A) bạn đã dùng giả thiết tồn tại giới hạn của f''(x). Bạn sẽ không có điều tương tự khi chứng minh (B) (tức là tồn tại giới hạn của f"(x) tại vô cùng).