Mấy bài toán về dãy số

Mấy bài toán về dãy số

Có mấy bài toán hay hay về dãy số, các bạn thử ra tay xem.

1) Cho dãy số thực x[n+2] = 1/2*(x[n+1] + x[n]) với x[2]>x[1] (đương nhiên thuộc R). Chứng minh là dãy số này hội tụ đến giá trị l = 1/3*(x[1] + 2*x[2]).

Bài này tôi mới chỉ chứng minh được là dãy hội tụ chứ chưa chứng minh được l như trên.

2) Giả sử dãy số thực a[n] hội tụ đến L. Chứng minh dãy:
s[n] = 1/n*(a[1]+a[2]+...+a[n])
cũng hội tụ đến L.

1/ x[3]=(x[1]+x[2])/2
x[4]=(x[2]+x[3])/2
x[5]=(x[3]+x[4])/2
. ..
x[n]=(x[n-2]+x[n-1])/2 (n>=3)

CỘng lại ta duoc
x[3]+...+x[n]=x[1]/2+x[2]+...x[n-2]+x[n-1]/2
=> x[n-1]+x[n] = x[1]/2 +x[2] +x[n-1]/2
=> 2x[n]+x[n-1]=2x[2]+x[1]
hehehe bác chứng minh hội tụ gòi hỉ . tui khỏi chúng lại
Vì hội tụ --> x[n]=x[n-1]=X khi n-> infinity
nên 3X=2x[2]+x[1] ==> DFCM

Hi, minh xin co'''''''' lo*`i giai nhu* sau:
1, Ba`i 1,: toi thay ba`i na`y co'''''''' 2 ca''''''''ch gia?i, cu. the^? la`:
C1:
a) Ta chung minh x(n) hoi tu.: ta se~ nhanh cho''''''''ng chung minh duoc ra(`ng x(n) gia?m voi*í mo.i n > 2 va` bi. cha(n duoi bo*?i x(1). [toi doan ba.n loveoflife cung lam theo ca''''''''ch na`y !?!]
b) Ti`m gia'''''''' tri. gio*i ha.n L:
ta co'''''''': x(n+2) = 1/2(x(n+1)+x(n))
<=> 2x(n+2) + x(n+1) = 2x(n+1) + x(n) = ... = 2x(2) + x(1)
--> n->+00: 3L = 2x(2)+x(1) <=> L = 1/3( 2x(2) + x(1)).
(ca''''''''ch na`y cu~ng gan tuong tu cach cua ba.n nobitut
C2: ta co he thuc: x(n+2) = 1/2(x(n+1)+x(n))
<=> 2x(n+2) - x(n+1) - x(n) = 0
Xe''''''''t phuong trinh dac trung: 2k^2 - k - 1 = 0
<=> (k-1)(2k+1)=0
<=> k1 = 1, k2 = -1/2
--> cong thuc x(n):
x(n) = a.k1^n + b.k2^n
= a + b(-1/2)^n, voi a & b la 2 hang so can xac dinh
Voi n=1: x(1)=a + b(-1/2)
Voi n=2: x(2)=a + b(1/4)
suy ra: a = 1/3( 2x(2)+x(1)), b = 4/3( x(2)-x(1)) (**)
Tu & (**), ta co'''''''': day x(n) hoi tu ve a, voi a = 1/3(2x(2)+x(1))
2, Ba`i 2: theo toi duoc biet thi` day la` dinh ly'''''''' trung bi`nh Cesaro, toi doc ba`i na`y tren ba''''''''o THTT nam 1995-1996 gi` do''''''''. Duoi day la` loi giai ma toi nho duoc :~)
Quy uoc: de cho tien soan thao, toi xin quy uoc viet phan tu thu "m" cua day "u" tuc u(m) se duoc viet la: Um, tuc la ten day se viet hoa, bo di hai dau (, ).
Xe''''''''t day trung binh Vn cua day An hoi tu ve L, ta co'''''''':
|Vn-L| = | 1/n(A1 + A2 + ... + An) - L|
= | 1/n( (A1-L) + (A2-L) + ... + (An-L) ) |
<= 1/n|A1-L| + 1/n|A2-L| + ... + 1/n|An-L|
Do day An hoi tu ve L nen voi moi "eps" nho tuy y cho truoc, ton tai mot so n* na`o do'''''''' sao cho voi moi n>n* ta co: |An*-L| < eps. Khi do tu ta co'''''''':
|Vn-L| <= 1/n|A1-L| + 1/n|A2-L| + ... + 1/n|An-L|
= 1/n(|A1-L| + |A2-L| + ... + |An*-L|) + 1/n(|a(n*+1)-L| + ... +|An-L|)
< k/n + eps.(n-n*)/n, voi k = |A1-L| + |A2-L| + ... + |An*-L| = const
Tu day, xet bat phuong trinh:
k/n + eps.(n-n*)/n < epsV
<=> n > (k-eps.n*)/(epsV - eps) = n**
Nhu vay, voi moi epsV nho tuy y cho truoc, voi moi n > n** ta luon co |Vn-L| < epsV, hay cung co'''''''' nghi~a la` day Vn hoi tu. ve L (dfcm).
He qua: neu day An duong (An > 0 voi moi n) hoi tu ve L thi day trung binh nhan Vn cua no'''''''', Vn = (A1A2...An)^1/n, cung hoi tu ve L. --- Ca''''ch chung minh he qua na`y suy ra tu dinh ly tren cho day ln(An).
TB: - ba''c na`o thay co'' gi` sai xo''t thi` di''nh chi''nh the^m nha''. Lau qua'' ru`i, gan chu.c nam nay rui` chu*'' it'' dau.
- em thay chu de ve day so rat hay, anh em ta nen xay dung them. Nhu*ng ma` nen tap trung va`o kien thuc pho thong, em na`o dang hoc cap III on thi dai hoc ... cam thay bo ich la` duoc, chu cao sieu qua'' mo.i nguoi dam na?n day.
That''''''''s all,
Mo.i nguoi tiep suc na`o, da.o na`y box Toan ho.c bat dau co'' ve? "so^''ng" ru`i day.
Được kimcon sửa chữa / chuyển vào 11:06 ngày 27/05/2004
Được kimcon sửa chữa / chuyển vào 11:17 ngày 27/05/2004

Về bài 1, bạn kimcon giải Cách 2 và phần 2 Cách 1đúng rồi, nhưng phần chứng minh hội tụ ở C1 thì chưa đúng đâu, vì dãy này không đơn điệu.
Về bài 2, tôi cũng giải như bạn. Tuy nhiên chưa sure lắm vì thấy cứ thế nào ấy

Hi everyboby & loveoflife,
Bai` 1: dung la mi`nh chung minh day x[n] hoi tu o C1sai. Mi`nh da xem lai can than & xin giai lai nhu* sau:
Ta tach x[n] thanh 2 day con x[2k] & day x[2k+1].
Tu dang thuc x[n+2] = 1/2(x[n+1]+x[n]) và gia thiet x[2] > x[1], dung quy nap ta co the chung minh duoc rang:
- day con x[2k] la day giam, chan duoi boi x[1] >>> hoi tu tai L1
- day con x[2k+1] la day tang, chan tren boi x[2] >>> hoi tu tai L2.
Xe''''t n=2k, cho k->+oo, tu ta co:
L1 = 1/2(L2+L1) <=> L1=L2 (1)
Xe''''t n=2k+1, cho k->+oo, tu ta co:
L2 = 1/2(L1+L2) <=> L2=L1 (2)
Tu (1) & (2) ta suy ra ket luan: day x[n] co hai day con x[2n] và x[2n+1] cung hoi tu ve L (=L1=L2) nen hoi tu
Bai2:
Toi hieu cho ban chua sure ve cach giai tren. Ca toi nua cung chua sure, nhung cho toi chua sure, cho toi thay co van de khong phai o huong giai, ma no'''' tap trung o phan chi ra gia tri cua n**.
n**=(k-eps.n*)/(epsV - eps)
Bieu thuc tren, co'''' mat dau "-" nen rat kho coi, du''''ng khong a.
----
Toi xin cai tien phan chi ra gia tr? n** nhu sau:
Xet mot so epsV nho tuy y,
Do day An hoi tu >>> goi n* la gia tr? sao cho: voi moi n>n* thi |An-L|<epsV/2.
Day k/n, k=const, hoi tu ve "0" >>> goi n** la gia tr? sao cho: voi moi n>n** thi k/n <epsV/2.
Ta lai co:
|Vn-L| <= 1/n|A1-L| + 1/n|A2-L| + ... + 1/n|An-L|
= 1/n(|A1-L| + |A2-L| + ... + |An*-L|) + 1/n(|a(n*+1)-L| + ... +|An-L|)
< k/n + eps.(n-n*)/n
The thi khi n>n^=max(n*, n**) thi`:
|Vn-L| < epsV/2 + epsV/2 = epsV, epsV nho tuy y cho truoc.
Vay la ta da chung minh duoc rang ton tai so n^ sao cho voi moi n>n^ thi |Vn-L| < epsV, voi epsV la 1 so be'''' tuy y'''' cho truoc.
Vay ta co'''' ket luan: day Vn hoi tu ve L (dfcm)
Được kimcon sửa chữa / chuyển vào 10:27 ngày 31/05/2004

Ca''c ba.n o*i tiep tu.c nhe'', mi`nh co'' 2 ba`i da^y:
Ba`i 1: Cho da~y x[n] xa''c di.nh nhu* sau:
x[1] = 1; x[n+1] = 1/(1+x[n])
CMR: da~y x[n] hoi tu. ve L1 va` ti`m gia'' tri. L1 do''.
---
Ba`i 2: Cho 2 da~y x[n], y[n] xa''c dinh nhu* sau:
x[1] = a, y[1] = b; a,b > 0
x[n+1] = sqrt(x[n]y[n])
y[n+1] = (x[n] + y[n])/2
CMR: 2 da~y x[n] & y[n] cu`ng hoi tu. ve L2 va` ti`m gia'' tri. L2 do''.

Ba`i 1: Cho da~y x[n] xa''''''''c di.nh nhu* sau:
x[1] = 1; x[n+1] = 1/(1+x[n])
CMR: da~y x[n] hoi tu. ve L1 va` ti`m gia'''''''' tri. L1 do''''''''.
---
Ba`i 2: Cho 2 da~y x[n], y[n] xa''''''''c dinh nhu* sau:
x[1] = a, y[1] = b; a,b > 0
x[n+1] = sqrt(x[n]y[n])
y[n+1] = (x[n] + y[n])/2
CMR: 2 da~y x[n] & y[n] cu`ng hoi tu. ve L2 va` ti`m gia'''''''' tri. L2 do''''''''.
Đầu tiên ta sẽ phát biểu bài toán sau:
Bài toán: Cho hai dãy a[n] và b[n] thoả mãn các điều kiện sau:
(i) a[n] tăng , b[n] giảm
(ii) a[n] <= b[n] n = 1,2,...
(iii) lim (b[n] - a[n]) = 0 khi n -> + vc.
Khi đó a[n] và b[n] hội tụ và có chung một giới hạn L.
Chứng minh:
Từ (i) và (ii) có: a[1] <= a[2] <=....... <= a[n] <= ... <= b[n] <=....<= b[2] <= b[1]
Suy ra a[n] tăng và bị chặn trên, b[n] giảm bị chặn dưới, suy ra tồn tại L1 = lim a[n], L2 = lim b[n] khi n tiến đến +vc
Cuối cùng chúng ta chỉ cần dùng giả thiết (iii) để có đfcm
0 = lim ( b[n] - a[n] ) = L2 - L1 => L1 = L2

Áp dụng:
Bài 1:
Đặt f(x) = 1/ (1+x), khi đó ta có f(f(x)) = 1 - 1/(2+x)
Suy ra f(f(x)) tăng trên R+
Vì x[1] > 0, x[n+1] = f(x[n]) nên x[n] > 0 với mọi n
Ta sẽ chứng minh : (x[2n]) tăng, (x[2n+1]) giảm, x[2n] < x[2n-1]
Có thể chứng minh bằng quy nạp theo n: x[2n] < x[2n+2] và x[2n-1] > x[2n+1]
Với n = 1 ta có x[2] = 1/2; x[3] = 2/3 < 1 = x[1] và x[4] = 3/5 > 1/2 = x[2], x[2] < x[1]
Giả sử ta có mệnh đề đúng đến n-1, ta sẽ chứng minh đúng với n.
Theo giả thiết quy nạp ta có 0 < x[2n-2] < x[2n] => f(f(x[2n-2])) < f(f(x[2n])) => x[2n] < x[2n+2]
Tương tự ta có 0 < x[2n-1] < x[2n-3] => f(f(x[2n-1])) < f(f(x[2n-3])) => x[2n+1] < x[2n-1]
x[2n-2] < x[2n-3] => f(f(x[2n-2])) < f(f(x[2n-3])) => x[2n] < x[2n-1]

Đặt g(x) = f(f(x)) => g(x) = 1- 1/(2+x) => g''''(x) = 1/(2+x)^2, trên R+ thì g''''(x) <= 1/4 mọi
Ta có x[2n-1] - x[2n] = g(x[2n-3]) - g(x[2n-2]) = g''''(c) (x[2n-3] - x[2n-2]) <= (1/4) (x[2n-3] - x[2n-2])
=> x[2n-1] - x[2n] <= (1/4)^(n-1) .(x[1] - x[2]) -> 0 khi n -> +vc
=> lim (x[2n-1] - x[2n]) = 0
Áp dụng bài toán cho hai dãy a[n] = x[2n], b[n] = x[2n-1] ta có tồn tại L = lim (x[2n]) = lim (x[2n-1]) => L= lim (x[n])
Thay vào ta có L = f(L), L > = 0 (vì x[n] > 0 ) nên L = (-1+ sqrt(5) )/2
Bài 2:
Đầu tiên nhận thấy x[n] <= y[n] với mọi n >= 2. Hơn nữa ta có x[n] tăng và y[n] giảm vì
y[n] >= sqrt(x[n]y[n]) >= x[n]
y[n] >= (x[n] + y[n])/2 > = x[n]
Vì x[n] < y[n] nên x[n] bị chặn trên, y[n] bị chặn dưới, do đó tồn tại L1 = lim x[n] , L2 = lim y[n]. Thay vào ta có: L1 = (1/2)(L1+L2) => L1 = L2
Cái giới hạn đấy khó tìm lắm ạ, em nhớ cấp III em học rồi, dính dáng đến Gauss thì phải, em ngại tìm lại quá, anh/chi nào biết thì nói hộ em nhé!
Được eiffel sửa chữa / chuyển vào 22:53 ngày 04/06/2004

Bài 1 thì cứ dùng cách giải phương trình sai phân mà giải ra được dãy
Xn = C1 + C2(-1/2)^n
Dãy này hội tụ đến C1.
Tìm C1 thì thay x1 và x2 vào giải hệ với ẩn là C1, C2
Bài 2 :
Dãy An có giới hạn là A thì với mọi epilson(e) nhỏ tuỳ ý thì tồn tại N(e) (N phụ thuộc vào e) sao cho với mọi n>N(e) thì ta có :
abs(An - A) < e
Ta có :
T = abs((A1 +..+An)/n - A) = abs((A1 +..+An - nA)/n)
= 1/n*abs[(A1 - A) + ...+ (An - A)] <= 1/n[abs(A1 - A) +...+abs(An - A)]
Theo ta có với mọi n> N(e) = N ta có
abs(An - A) < e
Vậy ta có :
T < 1/n*[abs(A1 - A) +...+ abs(AN - A) + (n - N)e]
Đặt Q = max(abs(Ai - A)) với i = 1...N
Ta có :
T <[N*Q + (n-N)e]/n = e + (Q - N)*e/n <-- dãy này dần về e khi n tiến xa vô cùng. Mà e thì nhỏ rồi à!
Vậy ta có điều phải chứng minh
P/S : Nếu bạn biết định lý Toeplix thì việc chứng minh đơn giản hơn nhưng việc chứng minh định lý Toeplix thì hoàn toàn không đơn giản.

Hi all & eiffel,
Loi giai cua ba.n cho ca? 2 ba`i & ca? ba`i toa''''n kha''''i qua''''t hoa'''' cua ba.n nua, no'''' cu~ng du''''ng.
Thuc chat khi dua ra ba`i 1 thi` mi`nh cu~ng co'''' chu? y'''' muo^''''n kha''''i qua''''t ho''''a da.ng ba`i kieu na`y, ma` da.ng ba`i kha'''' pho bien trong chuong trinh cap 3. Hom kha''''c ra?nh ho*n mi`nh se~ tri`nh ba`y sau nhe''''.
Ve ba`i 2, thuc tam ma` no''''i thi` ba`i na`y khong kho'''' de chu*ng minh su hoi tu. cu?a 2 da~y x[n], y[n] (ba`i na`y co'''' mat trong quyen De thi tuyen sinh Dai hoc mon Toan). Ca''''i kho'''' cua ba`i na`y la` chi? ra ca''''i gia'''' tri. ho^.i tu. L2 do''''.
Mi`nh co'''' tra trong quyen "Ba`i tap Giai ti''''ch" cua B.D.Demodovic thi` chi duoc cau tra loi: L2=u(a,b) (u = muy: ki'''' tu Latinh )
hay L2 la` ha`m cua a, b; ha`m na`y co'''' ten la` "ha`m trung bi`nh cong nhan cua 2 so a,b". Tuy nhien, mi`nh chi? biet co'''' de^''''n the va muon nho ca''''c anh em tre^n box na`y cu`ng ti`m hieu, tha?o luan.
Ba''''c na`o co'''' ba`i gi`, co'''' y'''' tuong gi` moi & hay hay thi` post le^n na`o.
See you.
Được kimcon sửa chữa / chuyển vào 12:47 ngày 07/06/2004

Chào bác kimcon,
Cảm ơn gợi ý của bác về trung bình cộng nhân, hi hi, em tìm trên Google thấy cái này hay lắm. Em xin giới thiệu cho mọi người cùng xem ạ!
Trung bình cộng nhân hay còn gọi là trung bình của Gauss, thường được viết gọn là AGM ( Arithmetic-Geometric Mean). Nó được định nghĩa đúng như bác kimcon đã viết, nghĩa là bằng giới hạn của hai dãy (x[n]), (y[n]) trong đó x[1] = a, y[1] = b, x[n+1] = sqrt(x[n]y[n]) và y[n+1] = 1/2(x[n]+y[n])
Cũng vì bởi cách xác đình dãy như vậy mà trung bình này có tên la cộng-nhân (xây dựng x[n+1] và y[n+1] lần lượt là trung bình nhân và trung bình cộng của x[n], y[n]).
Nhân tiện đây em xin nói qua về tốc độ hội tụ của hai dãy này.
Nếu đặt z[n] = sqrt(y²[n] - x²[n]) n>= 1 thì z[n] thoả mãn tính chất sau:
z[n+1] <= 1/2 z[n]
Từ đó có z[n+1] <= 2 -n z[1] .
Như vậy z[n] tiến về 0 một cách mũ hoá (hic hic, em chẳng biết dịch sang tiếng việt exponentiellement như thế nào cả).
Trung bình cộng-nhân có rất nhiều ứng dụng khá hay, đầu tiên trong việc tính tích phân elliptic, ngoài ra còn đưọc dùng trong việc tính các chữ số thập phân của PI ( thuật toán Gauss - Salamin). Vì điều kiện thời gian hạn chế (hic hic, tuần này em đang thi học kì), em xin để khi nào thi xong. Trong lúc đấy có anh chị nào biết thì viết hộ em với! Em cảm ơn nhiều!!!!!
Chúc mọi người vui!