1. Tuyển Mod quản lý diễn đàn. Các thành viên xem chi tiết tại đây

Mấy bài toán về hàm mũ

Chủ đề trong 'Toán học' bởi monarchy, 23/03/2005.

  1. 1 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
  1. monarchy

    monarchy Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/02/2005
    Bài viết:
    246
    Đã được thích:
    0
    Mấy bài toán về hàm mũ

    1 , Cho a>0 và a khác 1. CMR nếu a^m+a^n = a^p+a^q với m<n và p<q và m,n,p,q là những số nguyên thì m=p và n=q.

    2. Cho 0<a,b <1, CMR : a^b+b^a > 1.

    Bài 1 thì chỉ cần chứng minh cho a>1. Và cũng dễ chứng minh khi a>=2. Nhưng khi 1<a<2 thì hơi khó. Bác nào làm giúp em.
  2. monarchy

    monarchy Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/02/2005
    Bài viết:
    246
    Đã được thích:
    0
    Bài 1 em chỉ chứng minh được cho a>=2 và m,n,p,q >0. Bác nào làm cho em trường hợp 1<a<2 và m,n,p,q > 0 đi.
  3. dickchimney

    dickchimney Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2003
    Bài viết:
    128
    Đã được thích:
    0
    Mình e rằng bài này của đồng chí không thể đúng được, xem lại đề đi cái!
  4. I_am_joking

    I_am_joking Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    24/06/2004
    Bài viết:
    581
    Đã được thích:
    1
    Chắc a phải là số nguyên, m, n,p,q phải lớn hơn 1?
  5. dickchimney

    dickchimney Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2003
    Bài viết:
    128
    Đã được thích:
    0
    Bài 2: Giả sử 1/m < a < 1/m+1 ; 1/n < b < 1/n+1, m,n số tự nhiên.

    Thế thì ab + ba > 1/(m+1)(1/n) +1/(n+1)(1/m) .
    Chú ý là 1/(m+1)(1/n) > 1/(1+m/n) = n/m+n ( Bất đẳng thức Becnuli: (1 +a) ^ x > 1+ax nếu x>1 và < nếu ngươc lại )
    Tương tự 1/(n+1)(1/m) > 1/(1+n/m) = m/m+n.
    Cộng lại thì ra > 1, hehe!!
  6. monarchy

    monarchy Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/02/2005
    Bài viết:
    246
    Đã được thích:
    0
    Ừ , bài 2 ok rồi, nhưng mà phần giả sử thì hơi nhầm một chút.
    Bài 1 tớ chỉ phỏng đoán như thế thôi, và tớ chứng minh được với a>=2 (a không cần nguyên) và m,n,p,q >0 thì điều đó đúng. Nhưng mà dù thế nào thì các bạn hãy khẳng định hoặc bác bỏ nó chứ (trong các trường hợp còn lại của a và m,n,p,q).
  7. dickchimney

    dickchimney Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2003
    Bài viết:
    128
    Đã được thích:
    0
    Bác bỏ thì đơn giản thôi mà. Nếu có duy nhất nghiệm trong mọi trường hợp như bạn nói thì ta phải có bất đẳng thức a^m + a^n < =a^p +a^q. với mọi p<m,n<q.
    Chia cả hai vế cho a^q, cho m,n,q --> vô cùng nhưng giữ cho hiệu số giữa chúng không đổi, giữ nguyên p, thì sẽ có ngay một bất đẳng thức không hằng đúng đối với a
  8. monarchy

    monarchy Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/02/2005
    Bài viết:
    246
    Đã được thích:
    0
    Bạn móc đâu ra cái BĐT đó thế ?
  9. dickchimney

    dickchimney Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2003
    Bài viết:
    128
    Đã được thích:
    0
    Tớ quên nói là chỉ có thể suy BĐT ấy phải đúng với a>1 ( vì khi a---> vô cùng thì vế phải lớn hơn, nên nếu có giá trị a>1 nào đó mà vế phải nhỏ hơn thì pt có nghiệm a> 1, trái với giả thuyết của cậu ).
    Lần sau nếu là phỏng đoán thì cậu nên ghi rõ nhé! May mà bài này nhìn qua biết là sai.
    Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 22:04 ngày 03/04/2005
  10. monarchy

    monarchy Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    20/02/2005
    Bài viết:
    246
    Đã được thích:
    0
    Tớ chẳng hiểu ấy nói gì nữa. BĐT đấy ở đâu ra? Mà rõ ràng là khẳng định m=p và n=q là đúng khi a>=2 và m,n,p,q >0.

Chia sẻ trang này