Mấy bài toán về hàm mũ

à, rõ rồi, bạn dickchimney bị ngộ nhận. vì bạn không có quyền tăng số mũ mà vẫn giữ nguyên số 1. Khi đó số 1 biến thành a^k, k là độ tăng các số mũ kia.

Không khó để hiểu cho lắm. Bởi vì f(a)=a^m+a^n-a^p-a^q là 1 hàm liên tục đối với biến a. Hiển nhiên là m>p, n<q thì tồn tại giá trị a >0 để hàm này >0 vì lim ở +vô cùng. Nếu muốn f không có nghiệm dương thì đương nhiên f>0 với mọi a>0. Mà điều này thì không đúng như dickchimney đã nói.

Bạn monarchy bình tĩnh nhé, một hàm f liên tục mà khác không trên một khoảng thì có phải là nó xác định dấu không nào?? Tức là nó hoặc là dương hoặc là âm ý!!
Vậy nên nếu pt của bạn không có nghiệm lớn hơn 1 thì nó xác định dấu nếu biến x > 1 đúng không, tức là ta có bất đẳng thức thôi.
Nếu phần sau bài của tớ có vấn đề gì thì bạn cứ ý kiến tự nhiên, tớ sẽ xem lại.
Công nhận là tìm ra phản ví dụ cho bài của bạn rất khó. Nếu số mũ m,n,p,q nhỏ thì cái nghiệm khác 1 của nó rơi vào khoảng (1,1.001) . Còn trong bài giải của tớ khi tăng số mũ lên vô cùng thì cái khoảng đấy mới lên được cỡ (1,1.5).
@nht: cám ơn đồng chí

Ngoài ra có thể đặt câu hỏi là: tìm cận dưới A của tập các số thực dương a sao cho:
pt x^m + x^n = x^p + x^q không có nghiệm khi x>a nếu như hai cặp (m,n) và (p,q) là khác nhau.
Chắc chắn là A < = 2

Hi,
Theo tớ hiểu thì a là cố định . Đề bài :

Bạn hiểu nghiệm ở đây là gì , a hay (m,n,p,q) ? Theo câu trên thì có vẻ bạn hiểu a là nghiệm ?
Được yellow_zerg sửa chữa / chuyển vào 02:18 ngày 10/04/2005

Sao bạn monarchy ko post bài giải ứng với a>=2 lên ? Mọi người sẽ cùng nghiên cứu
Mời các bạn thử sức với 1 bài khác :
a ,b là nguyên dương . c = [a^(a+1) + b^(b+1)]/(a^a + b^b).
CMR : c^a + c^b ? a^a + b^b

Mình nghĩ bạn yellow_zerg đã hiểu nhầm rồi. Bài toán là Cho a>0 và a khác 1. CMR nếu a^m+a^n = a^p+a^q với m<n và p<q và m,n,p,q là những số nguyên thì m=p và n=q. Điều đó có nghĩa là bài toán đúng trong mọi trường hợp. Mà ở đây mình và dickchimney đã chỉ ra rằng tồn tại số thực a và các số m,n,p,q thoả mãn a^m+a^n=a^p+a^q với m<n và p<q, nhưng điều m=p và n=q lại không đúng. Mệnh đề mà có 1 trường hợp sai thì đương nhiên không thể coi là mệnh đề đúng được.

Giả sử m>p suy ra m>=p+1 suy ra là a^m>=a^(p+1)>=2a^p>a^p+a^q.
Tương tự cho m<p. vậy suy ra m=p và n=q.

Dickchimney bạn vẫn chưa thấy bạn bị ngộ nhận trong cái BĐT đó à? Nhé, cái BĐT đó sẽ đúng với 1 giá trị cụ thể của a, ta gọi là a0. Nhưng khi bạn thay đổi số mũ thì nó thành 1 hàm khác. Bạn nghiên cứu lại bài chứng minh sự bác bỏ của bạn đi.

Giả sử bài toán của monarchy là đúng : tức là với mọi m>n,p>q nguyên dương sao cho hai cặp số (m,n), (p,q) là khác nhau, thì pt a^m+a^n=a^p+a^q là không có nghiệm > 1.
Có thể giả sử p là số lớn nhất trong 4 số. Nếu như vậy thì ta phải có bất đẳng thức
a^p + a^q > a^m +a^n với mọi a > 1 và với mọi p> {q,m}, m>n.
Chia hai vế cho a^p
1 + a^(q-p) > a^(m-p) + a^(n-p). với mọi p> {q,m},m>n và a>1
Đặt p-m = u, p-n=v. Ta có

1 + a^(q-p) > a^(-u) + a^(-v). Chú ý là không có ràng buộc nào giữa u,v và q ngoài 0,u<v<p. Cho p ---> vô cùng không làm ảnh hưởng gì đến điều này và ta có

1>= (1/a)^u + (1/a)^v với mọi u,v > 0
Điều này không thể đúng với mọi a>1 được. Tuy nhiên điều này đúng nếu a > 2. ( kô mâu thuẫn gì với trường hợp a>2 )