Một bài toán BĐT...

Một bài toán BĐT...

Bài này có lời giải trong sách nhưng mình thấy nó dài quá. Xem ai có cách giải ngắn gọn hơn không.
x>=y>=z > 0. CMR: x2.y/z + y2.z/x + z2.x/y >= x2 + y2 + z2

up nào

up

* Bổ đề: x^3.y^2 + y^3.z^2 + z^3.x^2 >= x^3.z^2 + y^3.x^2 + z^3.y^2
VP - VT <=> (x-y).(y-z).(x-z).(xy + yz + zx) >=0 do giả thiết x>=y>=z
Bổ đề đúng.
* CM BĐT:
2.(x^3.y^2 + y^3.z^2 + z^3.x^2) >= {(x^3.y^2 + y^3.z^2 + z^3.x^2 ) + (x^3.z^2 + y^3.x^2 + z^3.y^2) = x^3.(y^2+z^2) + y^3.(x^2+z^2) + z^3.(x^2+y^2)} >= 2.(x^3.yz + y^3.zx + z^3.xy )
<=> x^3.y^2 + y^3.z^2 + z^3.x^2 >= x^3.yz + y^3.zx + z^3.xy ( chia 2 vế cho x.y.z)
<=> x^2.y/z +y^2.z/x + z^2.x/y >= x^2 + y^2 + z^2
Dấu bằng xảy ra nếu x = y = z

úp nữa nào!