Một bài toán đẳng thức nhiều ẩn. Nhờ các bác chỉ hộ cái!

Một bài toán đẳng thức nhiều ẩn. Nhờ các bác chỉ hộ cái!

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho:

2x^2 + 3y^2 + 6z^2 = n
3x + 4y + 5z = 23

Cho biết x,y,z là số thực > 0.

Cảm ơn rất nhiều.

Bunhia: (2x²+3y²+6z²)(9/2+16/3+25/6)>=(3x+4y+5z)²
suy ra: n>=a (tự tính lấy a nhé, ngại quá)
Giờ chỉ việc chứng minh với mọi n>=a thì tồn tại x,y,z thoả mãn cái khỉ gió kia. Cái này không khó. Có thể chọn 3/4y=6/5z thì ta chỉ còn 2 biến. Với 2 biến này xét tính liên tục chẳng hạn là ra ngay.

Chà. Bác giải thích kỹ thêm một tí nữa về phần chứng minh x,y,z bằng n đươc kô? Khó hiểu quá. Cảm ơn bác nhá.

Em Thanh à, nhìn vào bài toán dễ thấy là n bị chặn trên nữa. x, y, z là số thực thì đơn giản rồi.
Được I_am_joking sửa chữa / chuyển vào 02:11 ngày 15/03/2005

Sorry, lại không đọc kỹ đề, không nhìn thấy chữ >0.
Vậy thì ngoài đoạn trên chứng minh được n>=23²/14=37,78...
Ta chứng minh được nốt n<=3/16(3x+4y+5z)²=99,1875
Như vậy n=38,39...99
Còn vấn đề luôn tồn tại n thì cái đó đơn giản rồi.
Ví dụ như chọn 2/3x=6/5z chẳng hạn.
Như vậy hệ chỉ còn x và y. Và cho nó chạy linh tinh, thì tại 2/3x=3/4y thì nó đạt giá trị min 37,78...., còn tại x=0 thì nó đạt giá trị max 99,1875 nên theo tính liên tục thì nó chạy qua hết giá trị của n.
Bài cho kiểu này kể cũng hơi trâu, hiện mình đang bận nên không nói rõ hơn được, ai có cách nào hay hơn không nhỉ.

Đoạn tìm max nhtdhbk giải thích chưa đầy đủ lắm. Min thì rõ rồi. Để tìm max xét hàm f(x,y,z)= 2x^2 + 3y^2 + 6z^2. Đặt D={(x,y,z}| x,y,z>=0, 3x + 4y + 5z = 23}. Do f là hàm convex (lồi?), D là tập đóng -> max của f trên D nằm trên biên của D -> chỉ cần thử lần lượt x=0, y=0 và z=0 dễ dàng tìm được max.
Dùng toán ĐH thì bài này khá đơn giản. Ko hiểu dùng toán sơ cấp giải thế nào.

Cần gì phải giải thích. Đơn giản vậy thôi. Bắt buộc phải tính a nhỏ nhất để: a(3x+4y+5z)²>=2x²+3y²+6z².
Có thể coi đây là 1 hàm đối với từng biến x,y,z như vậy xét hệ số của x², y², z² chắc chắn 9a>=2, 16a>=3, 25a>=6, như vậy ít nhất a>=16/3. Và với a=16/3 thì nhân ra thấy luôn còn gì. Và đẳng thức chỉ xảy ra khi x,z=0 (Dù đề bài cho là >0 nhưng trên phương diện limit thì vẫn OK).Kiến thức hoàn toàn sơ cấp, chỉ cần suy nghĩ tí là được thôi mà. Khi biết kết quả rồi thì chứng minh cũng cần mỗi cảm giác hàm liên tục là OK.
Được nhtdhbk sửa chữa / chuyển vào 07:27 ngày 15/03/2005

BDT thi hien nhien roi. Luc nay chi la(n ta(n cai doan dau "=". Chi? doc qua -> ko nghi la dau "=" hien nhien nhu vay. Sorry.