Một bài toán xác suất.

Một bài toán xác suất.

Có bài này cơ bản mà cũng hay, mời các bác làm cho vui.

Có 2 người chơi trò đỏ đen. Họ ngồi trước một tập bài lớn, mỗi người rút n cây . Cho rằng xác suất đỏ/đen là bằng nhau trong toàn quá trình rút bài. Cuối cùng 2 người so số quân đỏ, ai nhiều hơn là thắng. Người thứ nhất ăn gian, anh ta rút thêm 1 cây. Tính:
1. Xác suất anh thứ 2 bị lộ tẩy
2. Xác suất thắng của mỗi người.

1. Theo tôi hiểu, anh ta lộ tẩy là khi anh ta rút cả n+1 cây bài cùng đỏ.
Vậy XS này là (0.5)^(n+1).
2. XS thắng mỗi người tôi thấy không thể đưa ra công thức tổng quát theo n.
Xếp các cây bài của 2 nguời thành một dãy 2n+1 cây thì có
T=2^((2n+1) khả năng.
Ký hiệu C(n,k) là tổ hợp chập k của n ptử.
Số khả năng để anh 2 thắng anh 1 là :
A=Sigma[k=1-->n] { C(n,k)*Sigma[i=0-->k-1] {C(n+1,i)} }.
Vậy XS anh 2 thắng anh 1 là A/T.
Tương tự, XS anh 1 thắng anh 2 là : B/T với :
B=Sigma[k=1-->n+1] { C(n+1,k)*Sigma[i=0-->k-1] {C(n,i)} }.
Chú ý là hai XS này có tổng nhỏ hơn 1 do còn có những ván hoà.

1. Theo tôi hiểu, anh ta lộ tẩy là khi anh ta rút cả n+1 cây bài cùng đỏ.
Vậy XS này là (0.5)^(n+1).
2. XS thắng mỗi người tôi thấy không thể đưa ra công thức tổng quát theo n.
Xếp các cây bài của 2 nguời thành một dãy 2n+1 cây thì có
T=2^((2n+1) khả năng.
Ký hiệu C(n,k) là tổ hợp chập k của n ptử.
Số khả năng để anh 2 thắng anh 1 là :
A=Sigma[k=1-->n] { C(n,k)*Sigma[i=0-->k-1] {C(n+1,i)} }.
Vậy XS anh 2 thắng anh 1 là A/T.
Tương tự, XS anh 1 thắng anh 2 là : B/T với :
B=Sigma[k=1-->n+1] { C(n+1,k)*Sigma[i=0-->k-1] {C(n,i)} }.
Chú ý là hai XS này có tổng nhỏ hơn 1 do còn có những ván hoà.

Bài giải của anh có lẽ cũng đúng, ít nhất là hướng. Nhưng con số cụ thể thì phải thử lại. Sau đây là đáp số với n =5 , anh thứ nhất có XS thắng là 0.5, anh thứ 2 là 59/215.
Câu hỏi phụ : Em đã thử với các n khác nhau và anh 1 luôn có XS thắng là 0.5 mà không phụ thuộc n -- Có thẻ giiải thích được không?

Bài giải của anh có lẽ cũng đúng, ít nhất là hướng. Nhưng con số cụ thể thì phải thử lại. Sau đây là đáp số với n =5 , anh thứ nhất có XS thắng là 0.5, anh thứ 2 là 59/215.
Câu hỏi phụ : Em đã thử với các n khác nhau và anh 1 luôn có XS thắng là 0.5 mà không phụ thuộc n -- Có thẻ giiải thích được không?

Tôi chưa thử kiểm tra bằng máy tính, mà cũng đang không cài Matlab, viết program thì ngại. Nhưng mà nhìn kết quả với n=5 của bạn chắc chắn sai. Làm sao mà ra kết quả là 59/215 được vì mẫu số phải là luỹ thừa của 2 chứ.
Nếu bạn viết program chạy thử chính xác thì nếu anh 1 luôn có XS bằng 0.5 nghĩa là B=2^2n với mọi n.
Vậy thử CM công thức B luôn bằng 2^2n xem, nhưng khẳng định là bạn thử đúng đã rồi hãy CM.
Còn về bài giải của tôi thì tôi cho rằng đúng và chắc bạn hiểu tại sao tôi lại tính A và B như vậy.

Tôi chưa thử kiểm tra bằng máy tính, mà cũng đang không cài Matlab, viết program thì ngại. Nhưng mà nhìn kết quả với n=5 của bạn chắc chắn sai. Làm sao mà ra kết quả là 59/215 được vì mẫu số phải là luỹ thừa của 2 chứ.
Nếu bạn viết program chạy thử chính xác thì nếu anh 1 luôn có XS bằng 0.5 nghĩa là B=2^2n với mọi n.
Vậy thử CM công thức B luôn bằng 2^2n xem, nhưng khẳng định là bạn thử đúng đã rồi hãy CM.
Còn về bài giải của tôi thì tôi cho rằng đúng và chắc bạn hiểu tại sao tôi lại tính A và B như vậy.

Con số 59/215 là do chương trình excel lấy fraction 3 chữ số , nếu lấy thập phân thì P2 = 0,2744; P1 luôn = 0,5.
Thử với n=100 ==> P2 = 0,4439 (gần tiến tới 0,5)
Để tính nhẩm thì lấy các n nhỏ:
Với n= 1 thì P2 = 1/8
và n=2 thì P2 = 3/16 kết quả đều đúng.
Bài giải của anh có lẽ nên xem lại cách tính A và B, liệu có phải là tích 2 sigma hay sigma của các tích?

Con số 59/215 là do chương trình excel lấy fraction 3 chữ số , nếu lấy thập phân thì P2 = 0,2744; P1 luôn = 0,5.
Thử với n=100 ==> P2 = 0,4439 (gần tiến tới 0,5)
Để tính nhẩm thì lấy các n nhỏ:
Với n= 1 thì P2 = 1/8
và n=2 thì P2 = 3/16 kết quả đều đúng.
Bài giải của anh có lẽ nên xem lại cách tính A và B, liệu có phải là tích 2 sigma hay sigma của các tích?

Câu hỏi phụ dễ nhất để tớ dành :
Giả sử mỗi người chỉ lấy n cây, khi đó xác suất thắng của mỗi người như nhau (đặt là P), xác suất hòa khi đó là 1-2P
Bây giờ người thứ nhất bốc thêm 1 lá, khi đó xác suất để người đó thắng sẽ là: P x 1 + (1-2P) x 0.5 = 0.5