Một bài về hàm lien tục

Một bài về hàm lien tục

Một hàm f giá trị thực xác định trên tập các số thực gọi là có tính chất P nếu với mọi a,b thực ta có:f[(a+b)/2]=f(a) hoặc f(b).
(i)Chỉ ra một hàm khác hằng có tính chất P
(ii)CMR:Hàm liên tục có tính chất P phải là hàm hằng.
(Nguồn:một bài thi Toán của Rumani)

i) có thể lấy f(x)= -1 nếu x <0
= 1 nếu x >0
ii) Ta chứng minh f là hằng trên [a,b] bất kì.
Dữ kiện nói rằng f tại trung điểm thì bằng f tại 1 trong 2 đầu mút.
Vì ta có thể xấp xỉ một điểm bất kỳ bằng cách lấy trung điểm liên tiếp, nên ta có thể xấp xỉ giá trị hàm f tại đó bằng dãy các giá trị bằng f(a) hoặcbằng f(b)
Kết quả là f[a,b]={f(a),f(b)}. Hàm liên tục nhận nhiều nhất 2 giá trị thì chỉ có thể là hàm hằng.

Không hiểu lắm cách lấy trung điểm liên tiếp của dickchimney, làm sao để chứng minh được f[a,b]={f(a),f(b)} nhỉ?
maicua thì làm phần 2 như sau:
1. Nếu f(a)=f(b)=c thì f[a,b]=c. Đây chính là 1 kiểu lấy trung điểm liên tiếp, và xấp xỉ 1 số tuỳ ý bằng các số viết trong hệ nhị phân.
2. Bây giờ ta sẽ c/m f(x)=f(0) với mọi x. Ví dụ c/m cho x>0.
Gọi M=sup{x / f(x)=f(0)} => f[0,M]=f(0), sẽ c/m M = vô cùng.
Phản chứng: Nếu M hữu hạn thì xét X1 bất kỳ : X1>M, ta có f(X1)<>f(M) giả thiết phản chứng.
Xét X2= (X1+M)/2 => X2>M => f(X2)<>f(M) => f(X2)=f(X1) _ giả thiết của đề bài.
Tương tự như vậy xây dựng được dãy Xn sao cho f(Xn)=f(N)<>f(M) và Xn-->M => f không liên tục _ vô lý.
Do vậy M = vô cùng.
Tóm lại f(x)=f(0) với mọi x > 0
tương tự có f(x) = const.
Không biết cách của dickchimney ntn nhỉ, bạn có thể nói rõ hơn kô?

Cách chứng minh của maicua vẫn chưa chặt chẽ nếu chưa khẳng định f(x) chỉ nhận 1 trong 2 giá trị hằng với mọi x.
Vì như thế vẫn chưa đủ căn cứ để khẳng định hàm không liên tuc.
Vì kể cả f(Xn) khác f(M) với |Xn - M| nhỏ tuỳ ý chăng nữa vẫn chưa thể khẳng định hàm không liên tục mà.
Mình đề xuất cách chứng minh như sau :
Lấy K nhỏ tuỳ ý và M lớn tuỳ ý.
Thật vậy :
lấy 1 điểm y bất kỳ thuộc đoạn trên.
Bây giờ ta chia đôi đoạn trên, rồi chia đôi 2 nửa tiếp.....
Ta sẽ đưọc các điểm có giá trị là g(j) = K+j*(M-K)/2^i
với i là số lần ta chia.
Dẽ thấy rằng đối với các điểm g(j) thì f ( g(j) ) chỉ nhận 1 trong 2 giá trị f(K), f(M)
và có vô số điểm g(j) gần y 1 cách tuỳ ý, tức là với 1 số epsilon bất kỳ, luôn tồn tại j để |g(j)-y|<epsilon
Bây giờ, giả sử f(y) = S khác f(K) và f(M)
theo định nghĩa giới hạn tại điểm y, ta có
với delta bất kỳ nhỏ tuỳ ý, tồn tại epsilon để với mọi x thoả mãn
|x-y| < epsilon thì |f(x)-f(y)| < delta
Tuy nhiên ta thấy, nếu chọn delta < V = min { |f(K)-f(y)|, |f(M)-f(y)| }
thì không thể tìm epsilon.
Thật vậy, với epsilon bất kỳ thì tồn tại j để
|g(j)-y| < epsilon, khi đó | f( g(j) ) - f(y) | > V > delta.
Vậy hàm không liên tục , suy ra vô lý.
Kết luận : f(x) chỉ có thể lấy 1 trong 2 giá trị mà thôi.
Từ đây, các bạn có thể dùng phần chứng minh tiếp của maicua.
Hoặc dùng cách của tôi như sau :
giả sử f(M) khác f(K)
vẫn lấy y bất kỳ thuộc đoạn {K, M]
ta thấy
chon delta < W = |f(M) - f(K)| thì cũng không tìm đưọc epsilon
Thật vậy, với epsilon bất kỳ thì tồn tại j để
|g(j)-y| < epsilon, khi đó | f( g(j) ) - f(y) | > W > delta.
vậy không thoả mãn định nghĩa hàm liên tục.
Suy ra f(M) = f(K).
P.S : Tôi là thành viên mới.
Đang la SV khoa CNTT - ĐHBK HN.
TTVNOL : metamodel
Y.M. : digiquang

Có vẻ hơi lộn xộn nhỉ. Xin lỗi các bạn,
Thật ra là phần chứng minh f(x) chỉ nhận 1 trong hai giá trị thì đúng rồi. Nhưng phần áp dụng để chứng minh f(x) là hàm hằng thì chưa đúng lắm nên mình gửi lại lần thứ 2.
Lần này thì đúng rồi.

ở đây là Xn->M nhưng f(Xn) ko tiến đến f(M), do đó f ko liên tục tại M bạn metamodel ơi. Anh maicua giải đúng rồi mà, lời giải bạn dài wá, ngại đọc :">
Còn lời giải của dickchimney chắc cũng ý tưởng như anh maicua thôi mà, sẽ xấp xỉ bằng các số viết trong hệ nhị phân

Rất vui lòng
Bác cứ để ý vào cái bước 1 của mình ý. Bác dùng xấp xỉ liên tiếp đúng không. Bác giả thiết f(a)=f(b) để rồi xấp xỉ liên tiếp bằng 1giá trị c của hàm f. Còn em thì em xấp xỉ luôn bằng 1 trong 2 giá trị f(a) và f(b). Đằng nào thì các trung điểm cũng chỉ nhận 1 trong 2 giá trị ấy thôi mà.
Và hơn nữa nếu limx_n = x và x_n] chỉ nhận 1 trong hai giá trị thì x cũng chỉ nhận 1 trong 2 giá trị đó mà thôi.
Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 04:20 ngày 17/12/2004
Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 04:23 ngày 17/12/2004

À, anh Maicua học xác suất đúng không ạ?. Có gì xem hộ em cái bài độ đo em gửi lên cái... sắp thi rồi!!

Cách chứng minh f(x) chỉ nhận 1 trong 2 giá trị với mọi x của dickchimney quá mù mờ. Mà bạn lại không chứng minh rằng từ đó suy ra f(x) là hàm hằng.
Còn cách chứng minh của maicua thì thiếu phần chứng minh
f(x) chỉ nhận 1 số hữu hạn giá trị.
Rõ ràng nếu f(x) nhận vô số giá trị thì chưa thể khẳng định f(x) không liên tục tại M, bạn heroes nghĩ lại xem.