Một bài về hàm lien tục

Cách làm của maicua là đúng rồi đấy meta ạ. Lập luận của bạn về hàm liên tục chỉ ... đúng có 1 nửa : f(Xn) có thể khác f(M), nhưng |f(Xn) - f(M)| cũng phải tiến đến 0 khi |Xn - M| tiến đến 0 cơ. Xem lại chứng minh của maicua đi, bạn sẽ thấy với cách thiết lập dãy Xn như thế, |f(Xn) - f(M)| không đổi khi Xn tiến đến M, vậy hàm không thể là liên tục được.

Vấn đề là ở chỗ |f(x)-f(M)| đó, tại sao lại không đổi, chỉ khi bạn chứng minh được f(x) chỉ nhận 2 giá trị trên toàn miền x >= 0 thì điều đó mới đúng chứ ?
Tất nhiên là khi |f(x)-f(M)| mà không đổi thì hàm không liên tục, thậm chí cả khi thay đổi nhưng luôn lớn hơn 1 số dương xác định thì hàm cũng không liên tục.
Cái mình thắc mắc ở đây là bài của maicua chưa chứng minh f(x) chỉ nhận 2 giá trị mà thôi.

Hic, bài này là của maicua làm, nhưng tớ thử thay maicua giải thích phát. meta đọc lại cái chứng minh cua maicua sẽ thấy rõ mà. maicua đã giả sử M=sup{x, f(x)=f(0)}, nếu M là vô cùng thì không nói làm gì, vì f[0,M] = f(M) = f(0). Nếu M hữu hạn thì sẽ có X1 > M và f(X1) <> f(M), và sẽ có dãy Xn như thế đấy.

Mệnh đề sau đúng hay sai??
f liên tục trên [a,b]. Khi đó tồn tại c <=b sao cho f[a,c] = {f(a)} và f(x) <> f(a) với mọi x đủ gần c và > c

Mệnh đề sai chẳng hạn f(x)=x+1
(Còn bài đầu có thể dùng nguyên lý Can tor )

Cảm ơn chao_co.
Mình hiểu ý bạn nói, và mình công nhận là khi đã giả sử M = sup { x : f(x) = f(0) } thì hiển nhiên với mọi x > M thì f(x) khác f(0) = f(M).
OK
tuy nhiên, mình đưa ra hàm số sau nhé :
f(x) = f(0) với 0<= x <=M
f(x) = (M-x+1)*f(0) với x> M
hàm này cũng có M = sup { x : f(x) = f(0) }
và với mọi x > M thì f(x) <> f(M) = f(0).
nhưng vẫn liên tục.
Tất nhiên, hàm f(x) trong bài trên ko thể có dạng này, nhưng nó cho thấy chứng minh của maicua chưa thật sự chặt chẽ.

Bạn trăn trở hơi cảm tính. Vì ở đây maicua dùng đến dãy, và hàm liên tục thì phải hội tụ trên mọi dãy. Dãy Xn lại là hằng. meta xây dựng hàm liên tục nào cũng không thể có dãy hằng này được.

Mình nói lần cuối về bài này thôi, chao_co đọc kỹ đề nhé, đề nói là f( (a+b)/2) = f(a) hoặc f(b) với mọi a,b ,bằng cảm tính bạn có thể suy ra f(R) = { p, q }, p, q là hằng, tức là tập đích của f(x) chỉ có 2 giá trị thôi, nhưng đó chỉ là cảm tính, bạn cần chứng minh điều này thì mới suy ra là "nếu f(x) khác p thì f(x) bằng q".
Tóm lại, f(Xn) với Xn > M chưa chắc đã là hằng.
Trong bài đó, maicua có giả sử là M = sup {x : f(x) = f(0) }
tất nhiên khi đó, với mọi x > M thì f(x) khác f(0), nhưng có thể có nhiều giá trị khác, bạn hãy xem hàm trong ví dụ ở trên, chưa chắc hàm đã ko liên tục.
Maicua cho ý kiến đi.

Hehe, đã trót thì trét. Tớ giải thích nốt trước khi maicua lên tiếng Tớ đọc kỹ đề rồi đấy
Cứ cho f(x) nhận nhiều giá trị khác như meta nói, nhưng dãy Xn lại là hằng vì X(n+1) là trung điểm của X(n) và M, vậy f(X(n+1)) = f(Xn).

Ừ, chao_co đã trót trét thì tớ cũng thế, hì hì.
Tại tớ ko đọc kỹ bài của maicua, đúng rồi, mình ko có gì phải thắc mắc nữa.
Thanks chao_co đã cho tớ 1 kinh nghiệm.