Một bài về hàm lien tục

Xem kỹ bài của maicua thì thấy chưa chứng minh f([a, b]) = {C} khi f(a) = f(b) = C.
Điều này rất rõ ràng, nhưng cũng cần chứng minh. Có nhiều cách chứng minh, nhưng mình muốn thử bắt chước maicua xây dựng 1 dãy X(n).Cách này có thể phức tạp, nhưng nó có vẻ đẹp của nó.
Nhận xét là nếu 0 < x < u/2^n, u>0 thì luôn tồn tại số nguyên m >= n để u/2^(m+1)< x < u/2^m
Gọi P là tập tất cả các điểm thuộc [a, b] có dạng a+k*(b-a)/2^m, k, m nguyên.
Suy ra mọi x thuộc P đều có f(x) = C.
Giả sử tại z thuộc [a, b], f(z) <> C. Khi đó, z ko thuộc P.
Đặt X(0) = a, ta còn xây dựng thêm 1 dãy phụ d(n) với d(0) = 0.
Ta thấy : X(0) < z < X(0) + (b-a)/2^d(0) và X(0) thuộc P.
X(n) được xây dựng từ X(n-1) với X(n-1) < z < X(n-1)+(b-a)/2^d(n-1) và X(n) thuộc P như sau :
Vì 0 <z - X(n-1) < (b-a)/2^d(n-1) nên tìm được số nguyên m>=d(n-1) để (b-a)/2^(m+1)< z ?" X(n-1) < (b-a)/2^m.
Chọn X(n) = X(n-1) + (b-a)/2^(m+1) và d(n) = m+1.
Lúc này ta có các nhận xét sau về X(n) :
1. X(n) > X(n-1).
2. X(n) < z., suy ra từ .
3. X(n) + (b-a)/2^d(n) >z, suy ra từ .
4. 0 < z ?" X(n) < X(n) + (b-a)/2^d(n) ?" X(n) = (b-a)/2^d(n) .
5. X(n) thuộc P.
6. d(n) =m+1 > m > =d(n-1).
Với dãy X(n) như trên, từ tính chất 4 ta có :
0 < lim#n-->vô cùng#(z ?" X(n)) < lim#n-->vô cùng#(b-a)/2^d(n).
Dãy d(n) tăng, mà d(0) = 0 nên d(n) >= n.
Suy ra :
lim#n --> vô cùng#(b-a)/2^d(n) < lim#n --> vô cùng#(b-a)/2^n = 0.
Cuối cùng ta có theo nguyên lý kẹp :
lim#n-->vô cùng#(z ?" X(n)) = 0.
Suy ra : lim#n-->vô cùng#X(n) = z.
Nhưng X(n) luôn thuộc P nên f(X(n)) = C với mọi n. Mà f(z) khác C.
Vậy hàm không liên tục tại z.

hi, dickchimney làm đúng rồi
cái bài độ đo kia mình chịu hình như liên quan đến phần theory ergodic, mà phần đấy mình dốt lắm
to chao-co, cám ơn bạn nhé

nếu tồn tại 1 dãy tiến đến M nhưng f(x) ko tiến đến f(M) thì f ko liên tục tại M, đây là định nghĩa mà, còn chứng minh gì nữa?

ông heroes này chẳng hiểu cái gì hết, đọc thì ko đọc hết.
à, chao_co ơi, ta rất thích được chao_co nhạn xét về dãy X(n) tớ xây dựng.

Hic, tớ biết nhận xét thế nào đây. Đã được hỏi đến thì cũng cố hiểu cái chứng minh của meta vậy. Tớ diễn nôm thế này : giả sử có z thuộc (a,b) mà f(z) <> C, meta sẽ chia đôi [a,b] liên tiếp và có dãy X(n) tiến đến z.
Cái này maicua đã nhắc đến, nhưng không làm cụ thể vì ... không khó lắm. Tớ thử xây dựng thế này, hơi thiên về thuật toán hơn là về công thức
X(0) := {x0,y0} = {a, b}
X(n) := lấy c = trung điểm X(n-1) ; nếu z > c thì là {c,y(n-1)} không thì là {x(n-1), c}
Lúc đấy hai dãy x(n) và y(n) đều tiến về z.
Merry Xmas and Happy New Year !
Được chao_co sửa chữa / chuyển vào 15:49 ngày 24/12/2004

merci chao_co, mình làm phức tạp thật, mình cố ép X(n) < z, nhưng thật ra ko cần thiết.

Em thấy bài này... !! Vấn đề là diễn đạt sao cho gọn thôi, chứ ai làm em thấy cũng đúng hết à!!