Một bìa toán hình lớp 9

Một bìa toán hình lớp 9

Trong SGK lớp 9 có một định lý không chứng minh: "Một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng P thì đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng P"

Bác nào có thể chứng minh được không?

Chẳng lẽ không ai chứng minh được định lý này? Các cao thủ toán đau rồi?

Bài này có hai lời giải.
1. Không chứng minh được. (vì không đúng)
2.Hiển nhiên đúng.

Nhân tiện đây, tớ vừa mới đọc được là thực ra không phải đến thế kỷ 18 (hay là 17) thời của Bolya, người ta mới nhận ra rằng khái niệm song song không phụ thuộc vào những khái niệm khác (...).Trong cuốn Elements(??) của Auclides(???) Ông ấy đã nhận ra trong mấy chương đầu, hoàn toàn không đả động gì tới khái niệm này, kể từ chương năm, khái niệm song song được đưa vào, và từ đó trở đi hoàn toàn nói về song song.

Cậu này viết ngớ ngẩn quá nhỉ. Định lý này chắc chắn đúng và chắc là chứng minh được.
Hoá ra thiên hạ cũng đề dốt như mình cả, có bài toán lớp 9 mà chưa thấy ai giải được.
Thất vọng với cái box Toán học này quá...

Chú mà ''dốt'' được như bác Matek thì phúc đức cho Toán học VN hiện nay

Nhân đây anh gợi ý cho chú : chú xem lại sgk lớp 9 xem cái sự định nghĩa '' đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nghĩa là gì '' .

Chào bạn, thực ra thì bạn nên chính xác xem dùng kiến thức của lớp mấy để giải chứ nhỉ? Thực sự thì nếu dùng kiến thức lớp 9 thì mình chưa biết làm thế nào cả, còn nếu dùng kiến thức cao hơn thì có thể. Hy vọng là lời giải sau đây giúp bạn đỡ "thất vọng":
Dùng hình học giải tích, hai đường thẳng vuông góc với nhau khi hai véc tơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau, nghĩa là có tích vô hướng = 0.
Bây giờ ta có với mọi đường thẳng d nằm trên mặt phẳng tạo bởi d1 và d2, véc tơ chỉ phương n của d sẽ là 1 tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ chỉ phương của d1 và d2, n = u. n1 +v. n2 (chú ý là điều này cũng chỉ đúng khi d1 va d2 cắt nhau)
Khi đó nếu đường thẳng a có véc tơ chỉ phương b]m và vuông góc với d1, d2, khi đó m. n = u m.n1 + v.m. n2 = 0 vì m.n1 = m[/b].n2 = 0.
Từ đó ta có a vuông góc với d. (đfcm)
Được eiffel sửa chữa / chuyển vào 02:37 ngày 16/05/2004

Quá nhời, quá nhời.

Thì dốt mới phải hỏi chứ. Mà cậu đầu mấy thế mà đã lên lời ông cụ vậy? Biết đâu ra đường gặp nhau cậu lại gọi tớ là bác xưng cháu (tớ nói thật đấy chứ không phải có ý coi thường cậu đâu nhé).
Giải bằng hình giải tích thì nói làm gì, tôi cũng làm được. Đây là muốn dùng kiến thức lớp 9 đã học để giải cơ. Bài này tớ đã gọi điện thoại hỏi một cao thủ rất nổi tiếng từng được giải toán quốc tế nay vẫn luyện thi đội tuyển quốc tế, được trả lời là "để suy nghĩ rồi sẽ trả lời" mà chờ chưa thấy trả lời, chắc bác ấy bận chưa có thời gian suy nghĩ, hay là toàn giải toán cao siêu nên mắc phải bài này quá đơn giản không giải được.
Để mọi người hiểu đầu đuôi xin trích một số kiến thức Hình không gian lớp 9:
- Mặt phẳng: không định nghĩa, chỉ có ví dụ về hình ảnh mặt phẳng
ĐN: hai đường thẳng a và b song song nếu nằng trong một mp và không có điểm chung.
ĐN: Một đường thẳng gọi là song song với mp P nếu nó không có điểm chung với P
ĐN: góc tạo bởi hai dt trong không gian là góc tạo bởi hai đường thẳng song song với chúng xuất phát từ một điểm bất kỳ
ĐN: Một đường thẳng a gọi là vuông óc với mp P nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mp P
Sau đó đến định lý tôi đã nói mà không chứng minh. Nếu người ta nói thừa nhận một kết quả nào đó thì có thể không chứng minh đưọc với các ĐN đã cho, nhưng phát biểu dưói dạng định lý chắc phải chứng minh được bằng những kiến thức đã học.
Thưa cậu delibab, khi tôi viết bài lên đây để hỏi các cao thủ là tôi đã thử chứng minh nhưng không được. Tôi viết lại các ĐN trên không phải cho tôi mà là cho những ai quan tâm muốn biết xem hình không gian đã được học những gì trước khi có định lý như tôi đã nói.
Nếu không ai giải được có nghĩa là định lý này quá khó.

Chào bác, có thể khi hỏi một bài nào đấy, bác có thể chính xác kiến thức được dùng không nhỉ, nếu như vậy thì sẽ tốt hơn, cháu nghĩ thế ạ.
Còn sau đây là lời giải chỉ dùng kiến thức lớp 9:
Xét (P) và delta. Giả sử delta vuông góc với d1 và d2 của (P), ta sẽ chứng minh delta vuông góc với d bất kì nằm trên (P).
Nếu d // d1 hoặc d2 thì OK, ta có ngay delta vuông góc với d.
Nếu không như vậy:
Lấy I = giao điểm của d1 và d2.
Qua I dựng d'''' //d.
Lần lượt lấy M, N, P trên d1, d2, delta sao cho IM = IN = IP
Gọi U là trung điểm của MN.
Ta có tam giác PIN và PIM vuông tại I (vì d vuông góc d1 và d2)
=> PM² = PI² + IM²
PN² = PI² + IN²
=> PM = PN, mà U là trung điểm của MN nên PU vuông góc với MN.
Nếu d'''' không // MN: Lấy V là giao điểm của d'''' với MN.
Bây giờ ta có:
Vì IM = IN nên IU vuông góc MN
=> IV² = IU² + UV²
Vì PU vuông góc với MN nên PV² = PU² + UV²
Trừ vế với vế hai đẳng thức trên ta có PV² - IV² = PU² - IU².
Mặt khác, ta có:
PU² = 1/2(PM² + PN²) - 1/4MN²
IU² = 1/2(IM² + IN²) -1/4MN²
Trừ vế với vế được PU² - IU² =1/2(PM² - IM²) + 1/2(PN² - IN²) = 1/2 PI² + 1/2 PI² = PI²
Từ đó ta có PV² - IV² = PI² => tam giác PIV vuông tại I => delta vuông góc d'''' => delta vuông góc với d.
Như vậy delta vuông góc với mọi đường thẳng không // MN.
Nếu d'''' // MN nghĩa là d'''' vuông góc với PU và IU. Xét (Q) = mặt phẳng tạo bởi PU và IU
=> MN vuông góc với delta vi delta thuộc (Q) và nếu lấy K, L trên UI, UV sao cho UK = UL thì delta không thể // với KL ( do detta vuông góc IU rồi)
=> d'''' vuông góc detta.
Vậy ta có delta vuông góc với mọi d trên (P).
Trong chứng minh trên ta đã dùng công thức tính đường trung tuyến trong 1 tam giác. Nếu bác băn khoăn thì cháu xin chứng minh lại, còn nếu không thì xong rồi ạ!
Được eiffel sửa chữa / chuyển vào 18:38 ngày 16/05/2004