nghĩ mãi không ra, đành nhờ mọi người!

nghĩ mãi không ra, đành nhờ mọi người!

có ngươpì đố tôi bài này mà đến ay tôi vẫn chưa giải ra.
cho ",a",+",b",+",c",>17
cmr: bpt ",ax2+bx+c",>1
luôn có nghiệm ε [0;1]
mong mọi người giúp đỡ. giải được sẽ khao chầu kem (dành cho nữ giới)

Ta sẽ c/m phản chứng, tức là c/m nếu tồn tại một bộ a, b, c nào đó sao cho không có nghiệm bđt trong [0,1] (hay với mọi x thuộc[0,1] thì",ax2+bx+c",<=1) sẽ dẫn đến|a|+...<=17 (**)
Nếu chúng ta c/m được (**) với mọi a>=0, mọi b, c; thì nó cũng đúng với mọi a, b, c (vì với a<=0 ta sẽ chọn bộ -a, -b, -c để xét; từ đó không khó để c/m được với a, b, c do giá trị tuyệt đối của một biểu thức giữ nguyên khi nó đôỉ dấu)
Vậy, không mất tổng quát, ta giả sử a>=0
đặt f(x)=|ax2+bx+c|
Xét f(0)=> |c|<=1=> -1<=c<=1(1)
Xét f(1)=> |a+b+c|<=1=> -1<=a+b+c<=1(2) trừ chéo với (1)(để bảo toàn dấu)=> -2<=a+b<=2 (3)
TH1: a=0(4)
Từ (1)(3)(4)=> (**)
TH2: a >0 (5)
tương đương với 3 bđt sau: f(0)<=1, f(1)<=1 và f(-b/2a)<=1(cực đại của hàm tuyệt đối đạt tại biên hoặc điểm cực trị)
Mở bđt f(-b/2a)<=1=> 4ac-4a<=b^b<= 4ac+4a => -2căn (a(c+1))<=b<= 2căn (a(c+1))(6)
Cộng bđt trái của (6) vào bđt phải của (2)=> a -2căn (a(c+1))+c<=1
<=> (căn a- căn (c+1) )^2 <=2=> căn (c+1)-căn 2<=căn a<=căn (c+1)+căn 2 kết hợp (1)=> a<=8(7)
Thay (1)(7) vào(6)=> |b|<=8(8)
Từ (1)(7)(8)=> (**)
Vậy với mọi a>=0, b, c, chúng ta có (**), mà như đã nói ở đầu, điều này dẫn đến với mọi bộ a, b, c chúng ta có (**), tức là giả thiết phản chứng đã dẫn đến mâu thuẫn=> ta có đpcm.

mệnh đề phủ định cỏ vẻ không hợp lí. bác nên nhớ rằng mẹnh đề đã cho (đề bài) là mệnh đề kéo theo chứ khoong phải là mệnh đề tương đương.
ai biết rõ mệnh đề thì chỉ giáo giùm.
cám ơn bạn đã giải nhưng vẫn chưa chặt lắm.

C/m phản chứng:
Mệnh đề cần chứng minh A=>B
Dạng nguyên gốc của phản chứng là cần chứng minh (phủ định B) hợp A kéo theo hằng sai.

Ở đây tớ dùng phản chứng, ta giả sử B sai sẽ dẫn đến mâu thuẫn A (phủ định A), dạng này sẽ suy ra dạng nguyên gốc, tức là chặt hơn dạng nguyên gốc (bù lại thì không phải bài nào cũng áp dụng được).
Nếu theo định nghĩa trên về c/m phản chứng, tớ không hiểu ý bạn lắm, bạn có thể nói rõ hơn một chút được không?

Tớ nói phía trên không chính xác một chút, ở đây là logic vị từ, chứ không phải logic mệnh đề (vì vậy , các ký hiệu mệnh đề phía trên hiểu là ký hiệu vị từ , tức có kèm lượng từ "mọi"," tồn tại"), song nguyên lý c/m phản chứng thì vẫn vậy!

Cái này hình như có trong bộ đề thi tuyển sinh cũ.
Mà ông nào lại nghĩ ra cái kiểu ra bộ đề như thế để HS học tủ nhỉ.
Nhưng mà phải nói trong đó nhiều bài hay.

Vê? cách chứng minh cu?a bạn thi? tôi nghif bạn câ?n pha?i "mệt" thêm
một chút nưfa.
Bạn xét trươ?ng hợp a > 0 va? bạn đi đến kết luận la?
f(0)<=1, f(1)<=1 và f(-b/2a)<= 1.
Vê? f(0) va? f(1) thi? được vi? nếu một trong hai không đúng thi? ta có điê?u
pha?i chứng minh, nhưng vê? điếm cực trị thi? bạn đaf kết luận
(ma? không chi? ra) la? điếm cực trị rơi va?o đoạn [0, 1], có nghifa la?
a dương (do xét trươ?ng hợp na?y) va? b âm va?
0 <= -b/2*a <= 1
Điê?u đó có nghifa la? bạn xét trươ?ng hợp khi giưfa a va? b có một mối
quan hệ ra?ng buộc nhất định.
Như thế thi? bạn co?n pha?i chi? ra ră?ng (tôi nghif không khó) bạn loại trươ?ng
hợp cực trị nă?m ngoa?i [0, 1] như thế na?o.
Cufng có thê? tôi không theo kịp được ý tươ?ng cu?a bạn, nếu thế xin chi? giúp.

F(0)=|c|
F(1/2)=|a/4+b/2+c|
F(1)=|a+b+c|
Nếu |c| >=1 thì xong, nên chỉ xét với |c|<1.
Lúc đó |a|+|b|>16
4F(1/2)+2F(1)+2F(0)=4|a/4+b/2+c|+2|-a-b-c|+2|-c| >= |a|
4F(1/2)+F(1)+3F(0)=4|-a/4-b/2-c|+|a+b+c|+3|c| >= |b|
Từ nên có:
+ nếu |a|>8 thì 4F(1/2)+2F(1)+2F(0 >8 và trong 3 cái F() này phải có cái >1 (4+2+2=8).
+ nếu |a|>8 thì 4F(1/2)+F(1)+3F(0 >8 và trong 3 cái F() này phải có cái >1 (4+1+3=8).
Vậy suy ra đpcm.

Ờ nhỉ, tớ quên mất!
Cám ơn bạn đã chỉ ra nhé, tớ sẽ thêm vào vậy:
TH2a: a<>0 , -b>/2a nằm trong [0,1]: xét như trên
TH2b: a<>0 , -b/2a <0=> b>0 từ (1), (3)=>(**)
TH2c: a<>0 ,-b/2a>1=> b <0 (9) và 2a<-b cộng vế đối vế vào bđt trái của (3)=>a<2(10)kết hợp bđt trái của (3)=> b>-4(11)
Từ (1), (10)(9)(11)=>(**)

Hơi dài dòng .