NGHỊCH LÝ XÁC SUẤT: Logic của chúng ta có bị lung lay???

NGHỊCH LÝ XÁC SUẤT: Logic của chúng ta có bị lung lay???

Như chúng ta đã biết, toán học là môn khoa học tương đối trừu tượng và cả nền tảng lý thuyết của nó chủ yếu dựa trên logic suy luận của con người. Có thể khái quát như thế này:

Toán học = Tiên đề + Logic

Đó chính là phương thức mà các định luật toán học được suy ra. Nếu chỉ một trong hai "thừa số" trên mà sai thì đương nhiên tất cả hệ quả của nó đều không đúng. Vậy thì có bao giờ ta tự hỏi: có phải các yếu tố trên luôn luôn đúng?

Thật ra sự thật hiếm khi hoàn hảo như chúng ta nghĩ. Chẳng hạn, ngay cả logic mà chúng ta cho là đúng (theo lương tri nhân loại) thì có khi lại tỏ ra đáng nghi ngờ đến khó tin. Điều gì đã khiến cho chúng ta phải có thái độ nghiêm túc để "xét lại" logic của mình? Đó chính là những nghịch lý logic. Ở đây xin phân biệt những nghịch lý thật sự với những ngụy biện (mới đầu xem qua tưởng là nghịch lý, nhưng nó có những điểm sai trong logic để cố tình đánh lạc hướng chúng ta, tìm ra được điểm sai đó chính là giải được ngụy biện).

Toán học có một ngành riêng gọi là "xác suất - thống kê" có gắn bó chặt chẽ với logic. Và chính trong lĩnh vực này người ta đã tìm thấy nhiều nghịch lý logic mà cho đến nay chúng ta vẫn chưa giải được (tức là tìm ra chỗ sai của nó). Sau đây tôi xin được phép đưa ra hai nghịch lý thuộc loại cổ điển để các bạn suy ngẫm xem sao.



1- Nghịch lý cà vạt

A và B gặp nhau và biết cả hai vừa mua mỗi người một chiếc cà vạt. Cả hai đều không biết giá tiền cà vạt của người kia. Thế là A đề nghị đánh cá thế này: cả hai sẽ nói cho nhau biết giá tiền chiếc cà vạt của mình (nếu cần thì có thể đến tiệm để xác minh). Nếu cà vạt người nào rẻ hơn, thì người ấy thắng cuộc và phần thưởng chính là chiếc cà vạt của người kia. Dĩ nhiên ta giả sử rằng không có trường hợp hai cái cà vạt ngang giá với nhau.

A bày ra trò đánh cá này vì anh ta nghĩ: xác suất để anh ta thắng hoặc thua là 50%. Nếu thua thì anh ta mất chiếc cà vạt của mình, còn nếu thắng thì anh ta được một chiếc cà vạt đắt tiền hơn. Như vậy rõ ràng là anh ta có lợi hơn khi đánh cá như vậy.

Tuy nhiên, về phía B thì anh ta nhận lời ngay, vì anh ta cũng nghĩ y hệt như A: thua thì mất ít hơn là được khi thắng. Như vậy, câu hỏi đặt ra là: tại sao khi đánh cá cả hai người đều lợi như vậy? (Quy luật phân bố của xác suất nói rõ rằng hoặc là hòa, hoặc lời lỗ trong khi đánh cá, chứ không thể có hai bên cùng lời như vậy được)

Nghịch lý này hình như đến giờ vẫn chưa giải được. Vậy ý kiến của bạn thì sao?



2. Nghịch lý 1/2 chống 1/3

Những bài toán về tung đồng tiền thì quá quen thuộc với ngành xác suất. Nhưng riêng bài toán này thì rất đặc biệt vì nó là một nghịch lý rất nổi tiếng.

Bây giờ tôi tung hai đồng tiền. Biết rằng ít nhất một trong hai đồng tiền có kết quả là NGỬA. Vậy xác suất để đồng tiền kia cũng nằm NGỬA thì là bao nhiêu?

( Dĩ nhiên ở đây ta xem là trường hợp lý tưởng, xác suất để một đồng tiền nằm sấp hay ngửa là tương đương nhau, và loại bỏ trường hợp "tiền múa chúa cười").

Câu hỏi tưởng chừng cực kỳ đơn giản nhưng ngẫm kỹ lại thì nó chứa đựng một nghịch lý chết người vì có hai câu trả lời trái ngược nhau. Thậm chí trong giới toán học đã chia thành hai phái "đấu đá" với nhau để chứng minh là câu trả lời của mình đúng (tạm gọi là phái "nhị phân" và "tam phân").

Phái nhị phân thì cho rằng xác suất đó là 50% hay 1/2, vì rõ ràng là việc tung hai đồng tiền trên là độc lập, không ảnh hưởng gì đến nhau, và xét riêng việc tung đồng tiền thứ hai thì chỉ có hai kết quả: sấp hay ngửa mà thôi.

Nhưng phái tam phân thì lại lý luận không kém thuyết phục: Nếu xét chung việc tung cả hai đồng tiền, thì có tất cả 3 kết quả khả dĩ: 1-ngửa ngửa, 2-ngửa sấp, 3-sấp ngửa (nên nhớ ít nhất một đồng tiền nằm ngửa nên không thể có trường hợp thứ tư là sấp sấp được). Xác suất của mỗi kết quả này là tương đương đều nhau. Nếu muốn đồng tiền thứ hai nằm ngửa thì ta rơi vào trường hợp 1. Như vậy xác suất của nó là 1/3.

Rõ ràng cùng một câu hỏi trên mà có đến hai câu trả lời: 1/2 và 1/3. Cái nào đúng, cái nào sai? Cho đến bây giờ toán học phát triển đến vậy mà vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng. Và nghịch lý này vẫn chưa được giải.

(Nghịch lý trên còn được trình bày dưới dạng sau cũng khá phổ biến: Tôi có hai người con, một người là trai. Vậy xác suất để người con kia cũng là con trai là bao nhiêu? Cách ra đề này thật ra cũng chỉ là một thứ rượu trong bình khác mà thôi)

Hai nghịch lý tiêu biểu trên vẫn còn tồn tại (ngoài một số nghịch lý khác hơi phức tạp hơn như nghịch lý phong bì, Monty Hall, Công chúa ngủ trong rừng, vv... hẹn dịp khác sẽ bàn đến) và chứng tỏ rằng logic của chúng ta còn què quặt quá. Bạn nào có ý kiến gì thì xin góp với nhé. Biết đâu ở VN ta lại có người thông minh giải được thì sao nhỉ??


Được LungTungBeng sửa chữa / chuyển vào 04/08/2002 ngày 11:07

Tui ko giỏi toán lém,cái 2 ko hiểu gì,nhưng cái 1 thì tui thấy đâu có gì nghịch lý,trong đó cũng chỉ có chuyện ĐưỢC và MẤT thui,cái lợi kia tui nghĩ là cảm wan con người

Alucard Leonhart
Christina's crazyfan
Animorphs's member
***Còn sống là còn hy vọng***​

Phần đặt vấn đề: mình nghĩ phải xem lại cái công thức Toán học = Tiên đề + Logic, vì Logic là gì? Chẳng qua cũng là tập hợp các quy tắc dựa tên một số Tiên đề mà thôi, Logic cũng là Tiên đề vậy.
Nghịch lý 1: Chưa có lời bàn gì!
Nghịch lý 2: Cái sai ở đây là mình đã coi xác suất mỗi trường hợp trong "sấp-sấp, sấp-ngửa, ngửa-ngửa" đều là 1/3. Xác suất của các trường hợp đó phải là: sấp-sấp:1/4, sấp-ngửa:2/4, ngửa-ngửa:1/4. Như thế bạn đã thấy chẳng có nghịch lý nào ở đây cả chưa? Bác LTB nói các nhà toán học đang chia làm 2 phe về chuyện này thì mình không tin.

Cái "công thức" của mình mang tính khái quát nên có thể dùng từ không được chính xác. Ý của mình nói logic chính là những suy luận của chúng ta, từ một khẳng định này đến một khẳng định khác. Bản thân cái quy luật "Nếu tiên đề đúng thì hệ quả cũng đúng" nó đã là một logic rồi!! Còn nếu xem logic này là tiên đề thì hóa ra chúng ta đã lạc vào một cái vòng lẩn quẩn! Thành ra việc phân biệt tiên đề và logic là điều cần thiết. So sánh cho dễ hiểu, tiên đề là bột mì, còn logic chính là bàn tay của ta nhào bột. Nếu không có một trong hai thứ này thì sẽ không bao giờ có cái bánh!!
Bạn gì nói "cảm quan con người" thì đó chẳng phải là logic hay sao?? Cái nghịch lý này không bác bỏ một quy luật toán học nào hết, nhưng nó đã chứng minh logic của chúng ta có vấn đề.
Còn về nghịch lý 1/2 - 1/3 thì đúng là em hấp tấp nên trình bày không chính xác. Cám ơn bác annonymous đã nhắc. Em đã sửa lại rùi, đề nghị bác đọc lại xem. Việc toán học xác suất phân chia thành 2 trường phái (tên tiếng Anh là "halfer" và "thirder") là có thật đó. Nhưng hình như phái "thirder" đang thắng thế hơn.

Ừ nhỉ, lần trước bác post nhầm mà mình cũng chẳng nghĩ ra, nhưng cái bác post vừa rồi vẫn sai: bác kể ngửa-ngửa, ngửa-sấp, sấp-ngửa thì vẫn sai, vì ngửa-sấp và sấp-ngửa thực ra là 1, bác kể 2 lần à? Đã có 1 đồng ngửa rồi cơ mà.
Để cho rõ ràng thì ta ký hiệu chữ đứng trước là trạng thái của đồng gieo trước, chữ sau là của đồng gieo sau, vậy thì rõ ràng chỉ có 2 trường hợp đồng xác suất là ngửa-sấp và ngửa-ngửa thôi chứ.

Ồ, em đã sửa lại rùi mà bác, có ít nhất một đồng nằm ngửa, không biết đồng nào, chứ có phải đồng nằm trước là ngửa đâu? Bác thử ngẫm lại xem!! Rõ ràng ta phải phân biệt 2 trường hợp đồng này sấp đồng kia ngửa và ngược lại, vì đó là 2 trường hợp khác biệt nhau, độc lập với nhau và tương đương nhau về xác suất. (Ở đây ta xét chung cả hai đồng tiền).

Ta thấy nếu như ném đồng tiền xu lên thì ta thấy số lần xuất hiện sẽ như nhau, nghĩa là sấp ngửa như nhau! Tại sao?
Đó chính là do tác động của qui luật toán thống kê, ta ném 1 đồng lên,. trước khi ném nó ta chưa thể nói lên kết quả gì cảu phép thử(xấp hay ngửa ở trên)nhưng nếu ném nhiều lần có thể tiên đóan được phép thử , gọi là phép thử nhé.Giả sử tronng phép thử đó , ta gọi sự kiện xuất hiệnmặt ngửa của đồng tiền lên trên ta gọi là sự kiện A, còn xấp là B.Khả năng xuất hiện A hoặc B khi ném xu được gọi là xác suất P(A)và P(B),Việc lặp lại nhiều lần phép thử đó thì việc xuất hiệnA hay B có tính qui luật goi là tính thống kê, giả sử ngẫu nhiên lần ném đồng xu là n lần , sự kiện xuất hiện A là nA lần, và B là nB lần, nA là tần số xuất hiện sự kiện A, nB... B. ta gọi fn(A)=nA/n là tần suất xuất hiện của A, nếu fn(A) càng lớn thì sự xuất hiện A càng dày và trong 1 phép thử khả năng xuất hiện A càng lớn, khi thực hiện 1 phép thử nhiều lần thì tần xuất fn(A) càng dần tiến đến xác suất P(A) của sự kiện A.
qua các tính tóan cụ thể ta có thể nhận rõ đuợc tính qui luật này, giả sử cách ném đồng xu là thực hiện như nhau trong các lần ném, sự xuất hiện sư kiện A hay B trong mỗi lần ném là như nhau(đồng khả năng)nên P(A)=P(B)=0,5, hoặc P(nA=1)=P(nA=0)=0,5, hay P(nA=1)=P(nA=0)=0,5, nếu thực hiện nhiều lần phép thử có thể xuất hiện nhiều lần phép thử có thể xuất hiện 4 loại kết quả
(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)
dễ dàng tìm thấy P(nA=2)=0,25
P(nA=1)=0,5
P(nA=0)=0,25
P(nA=0)=0,25
ví dụ sau 10 000 lần thực hiện phép thử người ta ghi lại được sự kiện A xuất hiện 4900-5100 và 4800-5200
và xác suất của sự kiện P(4900<=nA<=5100)xấp xỉ 84,26%
P(4800<=nA<= 5200)xấp xỉ 99,54% hay xác xuất để P(0,49<= fn(A)<=0,51)xx84,26%, tương tự cho kia, đã có khá nhiều người thực hiện loại phép thử trên và qua đây ta rút ra điểm chủ yếu đó xác suất, qui luật thống kê, tần số , tần suất
Mong là đúng nhỉ, hi
Không tình yêu nào rộng lớn bằng tình yêu của người đem cuộc đời mình hiến dâng cho bạn

Bác King of God ơi, cám ơn bác, chữ bé quá, nhưng em cũng ráng đọc bài của bác. Em hiểu ý bác nói về một số khái niệm cơ bản về xác suất (lý thuyết) và thống kê (thực tế), nhưng em đâu thấy ở chỗ nào bác giải thích nghịch lý kia đâu nhỉ?? Bác có thể nói rõ hơn được không?

Bạn King chưa hiểu đầu bài rồi, đọc kỹ lại phát!
Bác LTB lắm thứ của độc nhỉ, ủng hộ bác cái cho thêm tinh thần post tiếp mấy bài kia nhé!
Gót danh lợi bùn pha sắc xám
Mặt phong trần nắng rám mùi dâu
Nghĩ thân phù thế mà đau
Bọt trong bể khổ, bèo đầu bến mê

Thật ra mấy cái "của độc" này không hề có trong sách giáo khoa mới nhất, và hình như cả sách báo phổ thông cũng như chuyên ngành ở xứ ta. Mình mày mò sưu tầm chúng từ Internet, cụ thể là qua tham khảo Usenet (nhất là newsgroup alt.math) Các bạn nào là sinh viên khối tự nhiên có muốn được nghỉ một tiết học toán không? Hãy đem cái này ra mà "đánh đố" thầy giáo xem, mình xin đảm bảo lớp của bạn sẽ có một giờ tranh cãi ra trò đấy!
Vì nghịch lý 1/2 - 1/3 là một đề tài rất lý thú nên để giúp các bạn hiểu nó hơn, mình xin trình bày lại dưới dạng "bình dân" trực quan và dễ hiểu hơn cho các bạn thưởng thức:
Tôi có hai đứa con, trong đó có một đứa là con trai. Hỏi xác suất để đứa kia cũng là con trai thì là bao nhiêu?
(Để tránh bạn nào cắc cớ hay bắt bẻ, ta giả sử rằng xác suất sinh một đứa con trai hay con gái là bằng nhau = 50%, và loại bỏ trường hợp "pê-đê" vân vân...)
Câu hỏi đơn giản này hóa ra có hai câu trả lời trái ngược nhau:
Lý luận theo phe halfer: Việc một đứa con là con trai hay gái rõ ràng không hề ảnh hưởng đến giới tính của đứa kia. Thành ra ta có thể bỏ đứa con trai ra một bên và xét riêng đứa còn lại. Hiển nhiên là giới tính của đứa còn lại chỉ có một trong hai trường hợp: hoặc trai hoặc gái. Như vậy có thể kết luận việc đứa còn lại là con trai sẽ có xác suất = 50% hay 1/2.
Lý luận theo phe thirder: Xét chung giới tính của cả hai đứa con, ta có một trong 3 trường hợp sau có thể xảy ra:
1- Cả hai đứa đều là con trai.
2- Đứa đầu là con trai, đứa sau là con gái.
3- Đứa đầu là con gái, đứa sau là con trai.
Ngoài ra không còn trường hợp nào khác. (Trường hợp cả hai đều là con gái đã bị loại bỏ vì đề bài cho biết có ít nhất một đứa là con trai)
Một sự thật hiển nhiên là cả 3 trường hợp trên đều có xác suất ngang nhau, chia đều thành 1/3 cho mỗi trường hợp. Việc một đứa là con trai và đứa còn lại cũng là con trai rõ ràng là rơi vào trường hợp 1. Như vậy có thể kết luận xác suất của trường hợp đó là 1/3.
Nếu ta đọc kỹ hai lý luận trên thì theo logic hiển nhiên, cả hai xác suất này đều hợp lý cả! Thế chẳng lẽ 1/2 = 1/3 hay sao? Mâu thuẫn khó tin đó chính là mấu chốt của cái nghịch lý này.
Các bạn hãy nghiền ngẫm lại đi, nhưng xin báo trước là càng nghĩ lại càng nhức đầu đó! Thế mới biết logic suy luận của con người còn rất nhiều "fatal error"mà đầu óc phàm tục của chúng ta chưa thể tìm ra nguyên nhân được.