Nhờ giúp với, nhiều bài lắm!

Nhờ giúp với, nhiều bài lắm!

Chẳng hiểu mấy bài này giải thế nào nữa! Đây là những bài dành cho giáo viên tiểu học.
1. Cho phi>pi/3. Chứng minh rằng có thể chọn được 8 điểm trong mặt phẳng sao cho tất cả các tam giác tạo bởi bất kì 3 điểm nào cũng có các góc bé hơn phi.
2. Chứng minh rằng với mọi tam giác, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một đường thẳng.
3. Dựng đoạn thẳng với độ dài là:

​

4. Trong mặt phẳng (P) cho vòng tròn C tâm O, đường kính AB. Trên đường vuông góc với (P) kẻ từ A, lấy một điểm cố định S. Gọi M là một đi63m di động trên vòng tròn. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của A lên SM,SB.
a) Chứng minh: AD vuông góc với SB và DE. Tìm quỹ tích của đường thẳng AD và quỵ tích điểm D khi M di động.
b) Chứng tỏ rằng 4 điểm M,D,E,B cùng thuộc một vòng tròn và trục của vòng tròn đó đi qua O.
(hình vẽ)

​

Cám ơn các bạn nhiều.


FOOLDUCK

Bài số 2: Đường thẳng đó gọi là đường thẳng Euler (Ơle).
Chứng minh của nó đây:

Chú thích: Perpendicular bisector = đường trung trực
Perpendicular line = đường vuông góc.
Được VNMaths sửa chữa / chuyển vào 16:53 ngày 31/03/2004

4. Trong mặt phẳng (P) cho vòng tròn C tâm O, đường kính AB. Trên đường vuông góc với (P) kẻ từ A, lấy một điểm cố định S. Gọi M là một đi63m di động trên vòng tròn. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của A lên SM,SB.
a) Chứng minh: AD vuông góc với SB và DE. Tìm quỹ tích của đường thẳng AD và quỵ tích điểm D khi M di động.
b) Chứng tỏ rằng 4 điểm M,D,E,B cùng thuộc một vòng tròn và trục của vòng tròn đó đi qua O.
(hình vẽ)

​

a) Ta có MB vg MA, MB vg SA suy ra MB vg (SMA), từ đó có MB vgt AD.
Mặt khác ta có AD vg SM, AD vg MB suy ra AD vg (SMB), suy ra AD vuông góc với DE và SB.
Quỹ tích của AD: AD vuông góc với SB, suy ra AD thuộc mặt phẳng Q qua A và vuông góc với SB.
Quỹ tích của D: AD vuông góc với DE, suy ra D thuộc đường tròn đường kính AE, dựng trên mặt phẳng Q.
b) Sử dụng hệ thức trong tam giác vuông SAM và SAB ta có:
SD.SM = SA^2;
SE.SB = SA^2;
Từ đó ta có SD.SM = SE.SB => 4 điểm D, M, E, B nằm trên cùng 1 đường tròn.
Ta sẽ chứng minh O cách đều 4 điểm nói trên.
OM = OB = OE;
Vì AD vuông góc với (SMB) => AD vuông góc DB => OD = OB
Hy vọng là đã giúp được bạn!

Cám ơn các bạn nhiều! Thế còn bài 1 và bài 3??? Có sư huynh nào chỉ hộ mình dược không???
FOOLDUCK

Bạn ơi, 8 điểm này nếu thẳng hàng thì chẳng có tam giác nào cả, không hiểu có thêm giả thiết nào nữa không nhỉ? Với cả bài 3 ý, ở mẫu số là b thay vì là c thì có lẽ trông đối xứng hơn?
Được eiffel sửa chữa / chuyển vào 18:26 ngày 01/04/2004

Giả thiết như vậy thôi bạn ạ! Vì nó bảo là tìm được 8 điểm chứ không phải bảo là tất cả.
Còn bài 3 thì cũng chẳng biết nữa, chẳng biết ai ra đề mà quái thế. Thật tình là mình đọc đề xong chẳng biết phải làm gì! Ban đầu nghĩ là chắc phải rút gọn biểu thức, nhưng càng rút càng không gọn!!!
FOOLDUCK

FoolDuck, Xin góp 1 vài ý giúp bạn giải bài 3 như sau:
Trước hết để ý rằng:
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
å5 - b5 = (a - b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
= (a - b) [ (a2)2 + (b2)2 + (ab) (a2 + b2) + (ab)2 ]
Để giải bài toán cho chỉ cần giải bài toán sau:
Cho 2 số a, b ( a > b), dựng các đoạn thẳng có độ dài lần lượt là:
(i) a + b,
(ii) a - b,
(iii) a . b và do đó a2.
(iv) a / b
(v) và sqr(a). [căn bậc hai của a]
+ Câu (i) và (ì): (quá dễ dàng bằng cách dùng thước kẻ và compas)
+ Câu (ììi):

Dựng 2 tia Ou và Ot (bằng thước kẻ) Trên Ou dựng 2 điểm U và A với OU = 1 và OA = a. Trên Ot dựng điểm B với OB = b ( bằng compas). Sau đó dùng compas và thước kẻ dựng đường thẳng AM // UB cắt Ot ở M, Đặt OM = x, ta có:
OM / OB = OA / OU hay x /b = a / 1 , do đó x = a.b
Như vậy ta đã dựng được đoạn thẳng OM = a . b
Nếu dựng điểm B sao cho OB = a ta së được OM = a2.
+ Câu (iv): Tương tự như cách dựng ở câu (ììi)


Ta có : OA / OB = OM / OU hay a / b = x / 1 tức là x = a / b.
Như vậy ta đã dựng được đoạn thẳng OM = a / b.
+ Câu (v):
Dựng AB = a, trên AB dựng điểm U sao cho AU = 1 và
đường tròn đường kính AB. Sau đó từ U dựng đường thẳng
UM vuông góc với AB, cắt đường tròn tại M. Đặt AM = x.
Dễ thấy tam giác AMB vuông tại M, nên ta có:
AM2 = AU.AB hay x2 = 1. a = a
Do đó x = sqr(a).
Vậy ta đã dựng được đoạn thẳng AM = sqr(a)
Dĩ nhiên, ở đây các kiến thức về cách dựng trung điểm của 1 đoạn thẳng cho sẵn, dựng đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thảng cho sẵn đi qua một điểm cho sẵn (bằng comas và thước kẻ) xem như đã biết.
Hi vọng các ý nêu trên có ích cho bạn.
Được phan2 sửa chữa / chuyển vào 20:09 ngày 04/04/2004