Những định lý hay, kết quả đẹp làm rung động lòng người.

Những định lý hay, kết quả đẹp làm rung động lòng người.

Chúng ta, những người yêu Toán, ai cũng đôi lần rung động trước một kết quả nào đó trong Toán bởi tính giản dị và tính gây bất ngờ ( striking, frappant ) đôi khi mâu thuẫn với trực giác. Nhiều kết quả đơn giản đến học sinh cấp 2 cũng hiểu được (Vd bài toán Fermat ) nhưng chứng minh đòi hỏi những kiến thức cao hơn hoặc đôi khi là nguồn cảm hứng để phát sinh các lý thuyết mới. Tôi mở chủ đề này để chúng ta trao đổi những kết quả hay như vậy.
Chúng ta mở đầu bằng bài toán sau : cho đoạn thẳng AB trên mặt phẳng, làm thế nào để xoay ngược đoạn thẳng lại ( tức là đầu B trùng với đầu A cũ, đầu A trùng với đầu B cũ ) sao cho diện tích quyét bởi đoạn này trong quá trình di chuyển là nhỏ nhất. Bài toán này được đặt ra bởi nhà toán học người Nhật Kakeya năm 1917.
Thoạt tiên ta nghĩ đến cách di chuyển sau : quay đoạn AB quanh A 180 độ rồi đẩy đoạn đó 1 đoạn cho trùng với đoạn cũ như hình vẽ. Diện tích quét bởi AB là Pi/2 ( giả sử độ dài AB bằng 1)

Sau đó ta nghĩ đến cách di chuyển sau, tiết kiệm hơn : quay 180 độ quanh trung điểm AB như hình vẽ. Diện tích được quét là Pi /4

Một đề thi toàn quốc của VN là tìm cách di chuyển sao cho diện tích được quét là một số cho trước ( bao nhiêu không nhớ ).
Kekeya xét hypocycloid 3 góc như hình vẽ dưới ( hình này là quỹ đạo của một điểm trên một đường tròn bán kính 1/4 lăn không trượt trong một đường tròn bán kính 3/4 ). Ta có thể di chuyển đoạn thẳng bên trong hypocycloid sao cho nó luôn tiếp xúc với đường cong này, sau 1 vòng thì đoạn thẳng lại trở về nhưng đổi hướng. Ông dự đoán cách di chuyển này cho diện tích nhỏ nhất.

Nhưng đến năm 1928 Besicovitch chứng minh được kết quả : ta có thể di chuyển theo yêu cầu sao cho diện tích bị quét nhỏ tuỳ ý ! Điều này thật bất ngờ và một cách trực giác ta khó có thể nghĩ đến. Bài toán phát biểu rất sơ cấp này cũng có lời giải sơ cấp.
( Nguồn : http://members.wri.com/wellin/Kakeya.html&nbsp
Rất mong sự đóng góp của các bác.

Hay đấy. Thế chứng minh sơ cấp thế nào? Bác post tiếp đi
Cuộc sống tươi đẹp chính bởi vì nó luôn thay đổi

Chứng minh sơ cấp hồi trước em có đọc nhưng... không hiểu. Từ đó đến giờ cũng chưa xem lại lần nào nữa.

Nhưng ma` thấy nó vô lý làm sao đó , thử tìm cách di chuyển sao cho diện tích bằng 0.1 xem? (thanh AB có độ dài 1)
Socialistme

ặ bĂc nói thỏ thơ hặĂi khó vơ tôi 'Ê 'ỏằc chỏằâng minh 'Âu
Nhặng có nhỏằng cĂi mà trỏằc giĂc nhỏƠt thỏằi không thỏằf nghâ ra 'ặỏằÊc. Vư dỏằƠ cĂi này bĂc thỏằư nghâ xem : có thỏằf tỏằc mà diỏằ?n tưch bỏằ< quât nhỏằ tuỏằ ẵ.

Hôm nay lại nói chuyện tiếp chơi. Tôi muốn nói về "hạt ngọc" thứ 2 trong cuốn sách "Three Pearls of Number Theory" của nhà toán học Nga Khinchin.
Sau chiến tranh thế giới II, một thương binh Nga viết thư cho thầy mình là Khinchin đề nghị gửi một thứ gì để đọc và suy ngẫm trong cảnh buồn chán nơi bệnh viện. Thầy giáo đã gửi cho anh bộ 3 bài toán mang tên "3 hạt ngọc của lý thuyết số". Cuốn sách đã trở nên kinh điển. Ba bài toán được đề cập có nội dung rất sơ cấp, dễ hiểu, nhưng như Khinchin đã nói : "sơ cấp không có nghĩa là đơn giản", lời giải của ba bài toán này đều sơ cấp, tuyệt hay, nhưng rất khó và là kết quả tìm tòi của bao nhiêu tên tuổi lớn.
Trong số học ( đặc biệt trong "Ad***ive Number Theory" )người ta hay quan tâm đến các dãy số tự nhiên và sự "thưa, đặc" của dãy trong tập các số tự nhiên, đặc trưng bởi một đại lượng gọi là mật độ. Có nhiều loại mật độ, mật độ thông dụng nhất được xác định bởi lim (n-&gt;oo) A(n)/n ( ở đó A(n) là số các số hạng của dãy &lt;= n ).
Chúng ta cũng quan tâm đến việc biểu diễn các số tự nhiên dưới một dạng nào đó. Định lý nổi tiếng của Lagrange nói rằng mọi số tự nhiên được biểu diễn dưới dạn tổng không quá 4 bình phương. Một cách ngắn gọn ta viết :
N = A + A + A + A
ở đó A là tập các số chính phương ( kể cả 0 )
ký hiệu A + B chỉ tất cả các tổng a + b trong đó a thuộc A, b thuộc B.
Giả thuyết Goldbach có thể viết dưới dạng N = P + P + P ở đó P là dãy các số nguyên tố ( cộng thêm 0 ở đầu dãy ).
Một dãy các số tự nhiên A gọi là một cơ sở cấp k nếu N = A + A +.. + A ( k lần ). Như thế tập các số chính phương là một cơ sở cấp 4. Giả thuyết Goldbach nói rằng tập các số nguyên tố (cộng thêm 0) là một cơ sở cấp 3. Giả thuyết Waring nói rằng tập các số dạng n^k lập thành một cơ sở hữu hạn, điều này đã được Hilbert chứng minh năm 1909, sau này chúng ta sẽ trở lại với bài toán này.
Một nhà toán học Nga tên Schnirelmann đưa ra khái niệm mật độ sau :
0 &lt; a1 &lt; a2 &lt;... là một dãy số tự nhiên, A(n) là số các số hạng của dãy ( không tính 0 ) &lt;= n, mật độ Schnirelmann được xác định bởi
d(A) = inf (n&gt;0) A(n)/n
theo định nghĩa ta thấy ngay : nếu A không chứa 1 thì mật độ của nó bằng 0, và mật độ của A bằng 1 khi và chỉ khi A là dãy các số tự nhiên.
Schnirelmann chứng minh được định lý quan trọng sau :
Mọi dãy có mật độ đương đều là một cơ sở hữu hạn.
( điều này tất nhiên không đúng với các loại mật độ khác ).
Chứng minh hoàn toàn sơ cấp ( nhưng không... dễ ), dựa trên hai bổ đề sau (các bác có thể tự chứng minh) :
1) nếu A, B là 2 dãy, thì d(A+B) &gt;= d(A) + d(B) - d(A)d(B)
2) nếu A(n) + B(n) &gt; n-1, thì n xuất hiện trong A + B

Theo bổ đề 1, bằng quy nạp có thể chứng minh
d(A1 + A2 +..+ Ak) &gt;= 1 - (1-d(A1))..(1-d(Ak)) với k dãy A1,..Ak.
do đó nếu A có mật độ dương, với k đủ lớn thì d(A+A+..+A) ( k lần ) &gt; 1/2
Theo bổ đề 2 thì A+A+..+A (2k lần) chứa mọi số tự nhiên, do đó A là cơ sở bậc 2k.
Schnirelmann là người đầu tiên chứng minh được dãy P các số nguyên tố (cùng với 0) là một cơ sở hữu hạn. Dễ thấy P có mật độ Schnirelmann bằng 0, nhưng ông chứng minh được P+P có mật độ dương, và do vậy P là một cơ sở hữu hạn.
Bây giờ lại bắt đầu câu chuyện mới.
Ta đã thấy ở trên : nếu A, B là 2 dãy, thì d(A+B) &gt;= d(A) + d(B) - d(A)d(B)
Theo nhiều kết quả "thực nghiệm" chúng ta nghi ngờ bất đẳng thức mạnh hơn sau : d(A+B) &gt;= d(A) + d(B) ( tất nhiên dưới điều kiện d(A) + d(B) &lt;= 1 ).
Bài toán này nhìn rất đơn giản nhưng lại rất cứng đầu và không có lời giải trong nhiều năm. Đến năm 1942 nhà toán học Mỹ Mann mới chứng minh được, lời giải sơ cấp nhưng rất dài và khó. năm 1943 Artin và Scherk tìm ra lời giải mới, cũng sơ cấp nhưng ngắn hơn ( tuy rằng cũng rất dài ).
Lời giải đó dựa trên mệnh đề sau : nếu C=A+B, thì với mọi n tồn tại m&lt;= n để C(n) - C(n-m) &gt;= m(d(A) + d(B))
chứng minh rất là hay nhưng mà dài, bác nào có nhu cầu thì tôi quét lên vậy.

Các bác có thể nói thêm về mật độ được không!