Số học sơ cấp Số học sơ cấp là một môn học hấp dẫn và mất nhiều thời gian nhất thời THPT đối với bất kì ai yêu toán. Chúng ta có thể bây giờ không còn học nó nữa nhưng ai cũng rất tò mò về nó. Toán cấp III thì rất dễ hiểu (số học sơ cấp cũng vậy) nó chỉ khó ở người đầu tiên nghĩ ra nó. Ở nước ta sách về số học sơ cấp (sách đã in) cũng không được đầy đủ và hệ thống. Về phương trình nghiệm nguyên thì chỉ có phương trình Pel là trình bày đầy đủ về chứng minh nó có nghiệm và tìm được hết các cặp nghiệm trên cơ sở biết cặp nghiệm nhỏ nhất. Phương trình Fecma x^n+y^n=z^n trong các trường hợp n=2,3,4,5 thì chỉ thấy giải với n=2,4 và rất ít sách giải với n=3. Trường hợp n=3,5 hoàn toàn khác với trường hợp n=4 (z^2 -y^2=(z-y)(z+y)=x^2 hoặc z^4-y^4=(z^2-y^2)(z^2+y^2)=x^4 ta còn suy ra được hệ phương trình ngon ăn là z-y=a^2, z+y=b^2 hoặc z^2-y^2=a^4, z^2+y^2=b^4. Nếu làm theo cách cũ thì z^3-y^3=?=(z-y)(z^2+zy+y^2)=x^3 suy ra z-y=a^3, z^2+zy+y^2=b^3, đến đây không biết làm gì nữa nếu vẫn tư duy như cũ. Vậy ai biết lời giải hoặc tự giải được với n=3, 5 thì có thể post lên đây nhé. Tớ và những ai chưa biết tò mò lắm. Nếu post thì chỉ cần chỉ ra bước cơ bản mà không chứng minh chi tiết để người post đỡ khổ mà người đọc cũng được suy ngẫm. Cảm ơn rất nhiều tới bạn nào post nhé. Về số nguyên tố, thì quá nhiều vấn đề. Cho số nguyên n, do ước lượng được số các số nguyên tố nhỏ hơn n nên ta thấy số nguyên tố xuất hiện khá nhiều. Có phương thức nghiên cứu là cho một dãy số theo quy luật nào đó và chứng minh dãy đó chứa vô số nguyên tố. Dãy đó tăng càng nhanh thì chứng minh có lẽ càng khó. Một bài toán cổ điển về dạng này là cấp số cộng u_n=a*n+b với (a,b)=1 chứa vô số nguyên tố. Nghe nói bài toán này có nhiều cách giải, trong đó có cách giải sơ cấp khá dài. Mà không thấy tài liệu nào của Vietnam viết về cách giải sơ cấp lẫn cao cấp. Hồi còn học năm thứ nhất có suy nghĩ về nó nhưng cũng chỉ giải được với trường hợp b = 1. Với cách giải đó thì b=1 là một đặc trưng, không thể giải với b tuỳ ý được. Tớ (và cả những người chưa biết lời giải bài toán đó) rất tò mò về bài toán này với trường hợp b tuỳ ý. Vậy ai đọc được nó hoặc tự giải thì post lên với. Nếu post thì chỉ cần chỉ ra bước cơ bản mà không chứng minh chi tiết để người post đỡ khổ mà người đọc cũng được suy ngẫm. Cảm ơn rất nhiều tới bạn nào post nhé. Bạn nào có vấn đề gì hay về số học thì post nên nhé.
Hồi cấp 2-3 tôi cũng thích số học. Phương trình Fermat với n=3,4,5 được Đirichlê và Ơle giải thì phải, vào thế kỷ 18. Trong cuốn Đại số và số học tập 2 của PTS Ngô Thúc Lanh dùng làm giáo trình cho trường ĐHSP có lời giải cho n=3 và 4. Tuy vậy trong lời giải n=3 có thừa nhận không chứng minh một bổ đề, nên đã giải quyết được tư duy kia của bác, và cũng làm cho lời giải thành ra không đủ. n=5 thì do ông Ơle giải ra đầu tiên, nhưng chưa thấy ở đâu có. Về phần mình tôi đã cố gắng mãi nhưng chưa chứng minh được: mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành tổng của 4 hoặc ít hơn của các số chính phương. Có thể giới hạn bài toán cho các số nguyên tố.
