Thêm 1 bài toán dựng hình Ái chà ! Đã lâu lắm ròi conanhero tôi đây mới có dịp hội ngộ cùng quý bà con cô bác TTVNOL. Nhân đây conanhero cũng xin đặt ra 1 câu hỏi thú vị :" Xác định 3 đỉnh của 1 tam giác khi biết trước đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của nó ( kể cả tâm)"
Bạn ti?m ba?i na?y ơ? đâu ra vậy? Tôi thiết nghif ră?ng nếu bạn ti?m được ơ? đâu đó thi? chắc bạn đaf thay đô?i đâ?u ba?i. La?m như vậy nhiê?u khi la?m cho ngươ?i khác mất công mo? mâfm. Bơ?i có ai đó ngơ? ră?ng có vô hạn tam giác tho?a mafn điê?u kiện đâ?u ba?i? Hay nói một cách khác thi? nếu 2 đươ?ng tro?n cho trước la? đươ?ng tro?n ngoại tiếp va? nội tiếp tam giác ABC na?o đó thi? môfi điê?m A1 trên đươ?ng tro?n ngoại tiếp sef la? đi?nh cu?a một tam giác ma? 2 đươ?ng tro?n cho trước la? đươ?ng tro?n ngoại tiếp va? nội tiếp tam giác đó. Hay nói một cách khác nếu tư? A1 ta ke? 2 tiếp tuyến với đươ?ng tro?n nội tiếp va? chúng cắt đươ?ng tro?n ngoại tiếp tại B1 va? C1 thi? B1C1 la? tiếp tuyến cu?a đươ?ng tro?n nội tiếp.
Tốt wá! thế là bạn ko bị mắc lừa. nhưng bạn có thể CM rằng có vô số tam giác như thế hay ko? và ĐK để 2 Đt trở thành Đt nội tiếp và ngoại tiếp 1 tam giác?
May wĂ cĂ pro. M>i nhĂn 'Ă nghi nhiều nghi?m, lại thĂm tĂm ĐK 'f cĂ nghi?m>> nản luĂn. BĂy giờ ko cĂn học toĂn nĂn mấy bĂi trĂu bĂ nĂy 'Ăng lĂ 'Ănh '' anh em, ch? khoĂi mấy bĂi nhẹ nhĂng thĂi.
Ba?i gia?i sư? dụng 3 định lý (2 định lý nô?i tiếng). 1. Định lý Brianchon: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn O. Khi đó các đường chéo lớn AD, BE, CF đồng quy. Định lý cufng đúng ca? khi đươ?ng tro?n O tiếp xúc với các cạnh khi kéo da?i (điê?m tiếp xúc nă?m trên đươ?ng kéo da?i cu?a cạnh) 2. Định lý Pascal: Cho A, B, C, D, E va? F nă?m trên đươ?ng tro?n O. Khi đó các giao điểm của các cặp cạnh (nếu tô?n tại) AB và DE, BC và EF, CD và FA nă?m trên một đươ?ng thă?ng. Điê?u đáng chú ý la? các điê?m A, B, C, D, E va? F chi? pha?i nă?m trên một đươ?ng tro?n, không nhất thiết pha?i theo thứ tự như thế. Thực ra định lý Pascal được phát biê?u khi 6 điê?m nă?m trên một đường cô-níc (đươ?ng tro?n la? một đươ?ng như thế). Đường cô-níc (hoặc gọi tắt là cô-níc) là một đường cong tạo nên bằng cách giao một hình nón (hay chính xác hơn, là một mặt nón trong) với một mặt phẳng. Định lý Brianchon va? Pascal la? tương đương. Sư? dụng định lý Brianchon ta chứng minh được định lý Brianchon "ngược". 3. định lý Brianchon "ngược": Cho lục giác ma? các đươ?ng chéo lớn cắt nhau tại 1 điê?m hoặc song song. Khi đó nếu tô?n tại đươ?ng tro?n O tiếp xúc với 5 cạnh cu?a lục giác hoặc với các đươ?ng kéo da?i cu?a 5 cạnh thi? đươ?ng tro?n O cufng tiếp xúc với cạnh thứ 6 hoặc đươ?ng kéo da?i cu?a nó. Chứng minh không khó, ai thích thi? chứng minh, ơ? đây chi? sư? dụng kết qua? thôi. ------------------------------ Ta gia?i ba?i toán: "Cho trước 2 đươ?ng tro?n: K ngoại tiếp va? k nội tiếp tam giác ABC. Chứng mi?nh ră?ng môfi điê?m cu?a đươ?ng tro?n K la? đi?nh cu?a một tam giác na?o đó ma? K va? k la? 2 đươ?ng tro?n ngoại tiếp va? nội tiếp nó" Tôi không ta?i được hi?nh lên (error 80070040 ) nên bạn tự vef. CM. Lấy A1 trên K, vd. trên cung AB. Tư? A1 ke? 2 tiếp tuyến với k, cắt K tại B1 va? C1. Đươ?ng tro?n K ngoại tiếp A1B1C1, ta chi? câ?n chứng minh k nội tiếp A1B1C1, có nghifa la? ta pha?i chứng minh ră?ng B1C1 tiếp xúc với k. Gọi X la? giao điê?m cu?a AB va? A1B1, Y - giao điê?m cu?a B1C1 va? AC, Z - giao điê?m cu?a BC1 va? A1C. Ta xét lục giác ACA1B1C1B nội tiếp đươ?ng tro?n K. Tư? định lý Pascal suy ra ră?ng X, Y, Z nă?m trên một đươ?ng thă?ng. Do vậy trong lục giác A1XBCYC1 các đươ?ng chéo XY, BC1 va? CA1 cắt nhau tại một điê?m Z. Tư? định lý Brianchol "ngược" suy ra ră?ng B1C1 tiếp xúc với đươ?ng tro?n k. --------------------------- Như đaf thấy ơ? trên nếu 2 đươ?ng tro?n la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp cu?a một tam giác na?o đó thi? chúng cufng la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp cu?a vô va?n tam giác khác. Tất nhiên la? có vô va?n cặp 2 đươ?ng tro?n ma? không la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp cu?a bất cứ tam giác na?o. VD. đơn gia?n la? 2 đươ?ng tro?n đô?ng tâm trong đó đươ?ng tro?n "nă?m trong" rất nho?. Điê?u kiện đê? 2 đươ?ng tro?n la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp cu?a một tam giác na?o đó (va? do vậy la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp cu?a vô va?n) ư? Tôi cufng cha? muốn nghif nưfa. Như xuytuyet đaf nói ta chi? nên đưa ra các ba?i đê? gia?i trí thôi. Chứ với mục đích đánh đố nhau thi? thiếu gi? ba?i khó. Cứ lấy ơ? các ky? thi quốc tế ra thi? ối.
Tranh thu? lúc rôfi tôi ti?m điê?u kiện đê? 2 đươ?ng tro?n cho trước la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp một tam giác na?o đó. Vi? không gư?i được hi?nh ai quan tâm thi? tự vef, tôi sef nói cụ thê? các điê?m trên hi?nh. Gia? sư? 2 đươ?ng tro?n cho trước la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp một tam giác na?o đó. Gọi tâm cu?a chúng la? L (lớn) va? N (nho?), va? bán kính la? R va? r. Lấy trên L điê?m A sao cho, vídụ, A, N va? L nă?m trên cu?ng một đươ?ng thă?ng (đươ?ng kính cu?a L) va? A, N nă?m cu?ng phía so với L. Theo như đaf chứng minh ơ? ba?i trước thi? 2 đươ?ng tro?n L va? N cufng pha?i la? đươ?ng tro?n ngoại va? nội tiếp tam giác có đi?nh la? A - tam giác ABC (tam giác cân). Chân đươ?ng cao tư? A la? H pha?i nă?m ơ? trung điê?m BC. Gọi LN = x, góc BAL = phi ta có: AB = 2*R*cos(phi) sin(phi) = r/(R - x) (A) R - x + r = AH = AB*cos(phi) = 2*R*[cos(phi)]^2 (B) Tư? (A) va? (B) ta có R - x + r = 2*R*[(R - x)^2 - r^2]/(R - x)^2 => 1 = 2*R*(R - x - r)/(R - x)^2 => x^2 = R*(R - 2*r) (C) Đây chính la? điê?u kiện câ?n ti?m. Bán kính đươ?ng tro?n nho? (nội tiếp) pha?i thoa? mafn điê?u kiện 0 < r <= R/2 (vế trái không âm). Với 2 đươ?ng tro?n có bán kính R va? r (tho?a mafn đk trên) thi? tâm cu?a chúng pha?i cách nhau một đoạn x tho?a mafn (C). Khi r = R/2 thi? x = 0, điê?u đó có nghifa la? lúc na?y 2 đươ?ng tro?n pha?i đô?ng tâm. Khi r --> 0 thi? x --> R. Có nghifa la? nếu đươ?ng tro?n nho? có bán kính ca?ng nho? thi? tâm cu?a nó ca?ng pha?i xa tâm đươ?ng tro?n lớn.