Thêm một giả thuyết nữa ra đi

Thêm một giả thuyết nữa ra đi

Arbitrarily Long Progressions of Primes
By Eric W. Weisstein

April 12, 2004--Prime numbers (i.e., positive integers such as 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... that cannot be written as a product of smaller positive integers) have long fascinated mathematicians and non-mathematicians alike. Prime numbers also play an important role in many areas of mathematics, including number theory and cryptography. As a result, they are much studied, and much is known about their properties.

For example, the Greek mathematician and geometer Euclid (ca. 325 - ca. 270 BC) produced a beautiful proof (now known as Euclid''s second theorem) that there are an infinite number of primes. However, more than two millennia elapsed before Hadamard and de la Vallée Poussin in 1896 independently proved the so-called prime number theorem, a fundamental result that gives a formula for the asymptotic number of primes that are less than some given number.

While much is known about the prime numbers, there is also much that still remains unknown. For example, it is not known whether there are an infinite number of so-called twin primes, which are prime pairs of the form (p, p + 2). Another question that has remained unanswered is whether there exist arithmetic progressions of primes of any given length.

In mathematics, an arithmetic progression is a set of numbers that are equally spaced. So, for example, 1, 5, 9, 13, 17 is an arithmetic sequence of numbers with difference 4. Similarly, a prime arithmetic progression is an arithmetic progression of numbers that are all prime. For example, 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 is a 10-term arithmetic progression of primes with difference 210. The largest known number of primes in arithmetic progression is 22, as achieved by the sequences 11,410,337,850,553 + 4,609,098,694,200k (Pritchard et al. 1993) and 376,859,931,192,959 + 18,549,279,769,020k (Frind 2003) for k =0, 1, ..., 21.

As early as 1770, Lagrange and Waring investigated how large the common difference of an arithmetic progression of n primes must be. In 1923, Hardy and Littlewood made a very general conjecture known as the k-tuple conjecture about the distribution of so-called prime constellations, which includes the hypothesis that there exist prime arithmetic progressions of any length k as a special case. Important ad***ional theoretical progress was subsequently made by van der Corput (1939) and Heath-Brown (1981).

Despite all this labor, the general result for progressions of primes of arbitrary length k remained an open conjecture (Guy 1994, p. 15). Now, thanks to new work by Ben Green and Terence Tao, the conjecture seems to finally have been settled in the positive. In a recently published in preprint, Green and Tao (2004) use an important result known as Szemerédi''s theorem (which states that every sequence of integers with positive density contains arbitrarily long arithmetic sequences) in combination with recent work by Goldston and Yildirim, a clever "transference principle," and 48 pages of dense and technical mathematics to apparently establish the fundamental theorem that the prime numbers do contain arithmetic progressions of length k for all k.

It should be noted that the work of Green and Tao is a nonconstructive proof, which means that while it appears to establish the existence of prime arithmetic progressions of any given length k, it cannot actually produce a single concrete example. The final chapter on this problem therefore remains unwritten, although it seems certain that explicitly constructing prime progressions of a given length is harder than the already difficult task of theoretically proving their existence.
References

Frind, M. "22 Primes in Arithmetic Progression." NMBRTHRY@listserv.nodak.edu mailing list. 19 Apr 2003.
http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0304&L=nmbrthry&P=2770.

Green, B. and Tao, T. "The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions." arXiv:math.NT/0404188 v1 preprint. Apr. 8, 2004.
http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188.

Guy, R.K. "Arithmetic Progressions of Primes." §A5 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 15-17, 1994.

Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of ''Partitio Numerorum.'' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes." Acta Math. 44, 1-70, 1923.

Heath-Brown, D.R. "Three Primes and an Almost Prime in Arithmetic Progression." J. London Math. Soc. 23, 396-414, 1981.

Pritchard, P.A.; Moran, A.; and Thyssen, A. "Twenty-Two Primes in Arithmetic Progression." Math. Comput. 64, 1337-1339, 1995.

van der Corput, J.G. "ober Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten." Math. Ann. 116, 1-50, 1939.

Lưu ý là bài báo của 2 bác kia có tại dây : http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188

Cậu dịch sang tiếng Việt được không? Đâu phải ai cũng giỏi tiếng anh đâu??
To U Rein: Mình đã xoá bài viết của cậu và mingon gì đó bên Topic: Vẻ đẹp của sự đơn giản. vì lí do chat chít vớ vẩn. box Toán là box khoa học, nên ....

Cậu kiếc cái con khỉ, anh là username đây mà chú không nhận ra à. Chú muốn anh dịch thì đợi thư thư đã.

Anh làm em chết cười.
vâng, anh Random đã thông báo là nick anh bị lộ mật khẩu.
Nick này trông hay quá.Em cũng hơi nghi.
hoan hô anh User tái xuất box Toán học, nhớ anh quá
Hình như đây là câu bài rùi. Sorry mọi người.

Mình lười dịch, nên tự tóm tắt theo ý của mình vậy.
Số nguyên tố là một trong những đối tượng nghiên cứu cổ xưa nhất của Toán học (từ xưa Euclid đã chứng minh tính vô hạn của các số nguyên tố) nhưng vẫn chứa đựng vô vàn bí ẩn làm mê hoặc lòng người.
Câu hỏi đặt ra là : Tồn tại hay không một cấp số cộng với độ dài tuỳ ý chỉ chứa toàn số nguyên tố ? Câu hỏi nghe rất tự nhiên và theo trực giác ai cũng nghĩ rằng có, nhưng tìm các cấp số cộng chứa oàn số nguyên tố rất khó khăn, kỷ lục đến năm 2003 mới là tìm ra cấp số cộng độ dài 22.
Và mới đây 2 bác Ben Green và Terence Tao đã chứng minh được giả thuyết trên, mặc dù chứng minh của 2 bác chỉ chứng minh được sự tồn tại chứ không chỉ ra được cách xây dựng các cấp số cộng độ dài tuỳ ý. Lưu ý rằng năm 75 Szemerédi chứng minh định lý nói rằng mọi dãy các số nguyên có mật độ dương đều chứa cấp số cộng có độ dài tuỳ ý (tất nhiên các số nguyên tố có mật độ 0), định lý này được Erdos và Turan phỏng đoán từ năm 36 và Erdos cho rằng nó khó đến nỗi ông hứa trao 1000 đô cho ai chinh phục được nó (lúc sinh thời, Erdos vẫn trao giải thưởng cho những ai giả quyết được các phỏng đoán của ông, nhưng bình thường chỉ là 10, 20 đô, vui vẻ là chính).

Cái giả thuyết này có phải được trao giải 1 triệu đô không nhỉ ? Mà cái đồng chí Tao này hôm nay nói chuyện nghe nói là một siêu cao thủ có phải không ? Chưa đến 30 tuổi, kinh vãi, anh Username phải lấy đó làm gương đê
Cái chú Tao này có phải sinh ở Mỹ ko nhỉ ? Em cứ nghe thằng gốc Tầu nào cao thủ là máu tự nhiên sôi hết cả lên.

P.S : buồn cười thật, thế là đã bị xoá bài rồi à ?

Tò mò tí, thế nào là dãy số mật độ dương ? Có phải anh đang làm về cái này ko ?
Hôm nay vẫn lười nhác lại vào đây bibô linh tinh

Tao là một siêu cao thủ, sinh ra trong những năm 70, đến giờ vẫn chưa đến ba mươi tuổi nhưng đã có hơn trăm bài báo rồi, mà toàn là bài tầm cỡ cả.
Mấy chú username và mignon sợ Tao chưa?

Không, giả thuyết này không được trao 1 triệu đô nhưng mà cũng nổi tiếng. Bác Tao chắc là sinh ở Mỹ vì tên Terence mà.
Cái anh đang luyện (Algebraic Number Theory) chẳng liên quan gì đến cái này cả, nhưng cũng muốn nhìn ngó xem nó như thế nào. Ở X anh em học ít quá nên bây giờ phải đọc lại khá nhiều sách cơ bản.