Thêm một kết quả lớn trong toán học

Thêm một kết quả lớn trong toán học

A World of Doughnuts and Spheres
By GEORGE JOHNSON
The NewYork times


hough you might not guess it from trying to read some of the research papers, the whole point of mathematics is to make things simpler. No one has taken this more seriously than the topologists, a rarefied breed of thinkers who insist that the world, however messy and diverse it may appear, is really made of just two basic shapes, the doughnut and the sphere.

Actually it's a bit more complicated than that ?" the doughnuts can have more than one hole, for example, and the topologists don't limit themselves to the usual three dimensions. Lately, they have been preoccupied with claims that a Russian mathematician has solved a famous century-old problem involving what might be called hyperdoughnuts and hyperspheres existing in an imaginary four-dimensional space.

Grappling with such slippery abstractions, Dr. Grigori Perelman of the Steklov Institute of Mathematics in St. Petersburg says he has found a proof of the Poincaré Conjecture, which seeks to explain how some of these airy higher-dimensional objects behave. He outlined his approach earlier this month in a series of lectures at the Massachusetts Institute of Technology.

If he is right, it will be the biggest mathematical news since 1995, when Dr. Andrew J. Wiles, a Princeton professor, proved Fermat's Last Theorem. Sweetening the victory, Dr. Perelman would be eligible for a $1 million prize, sponsored by the Clay Mathematics Institute in Cambridge, Mass., for solving what it considers one of the seven most important problems of the millennium.

The money is almost beside the point. That grown men and women can make a living pondering such matters is a sign that civilization, as fragile as it may sometimes seem, remains intact.

"When you spend years closeted away with these things, they are as real to you as your family," said Dr. Michael Freedman, a mathematician at Microsoft who made his mark 22 years ago proving the Poincaré Conjecture for objects in five-dimensional space. Before that it had been proven for all dimensions beyond five.

"Ironically the higher dimensions turned out to be easier than the lower ones," Dr. Freedman said. They offered more wiggle room.

Topology is the study of that which remains constant as an object is bent, stretched or squeezed. A coffee cup with a looped handle, a bugle and a garden hose can each be transformed into a doughnut (more formally called a torus). Likewise, anything without a hole through it ?" a pencil, a brick, a piece of spaghetti (but not rigatoni, which is a very long and skinny doughnut) ?" can be molded into a sphere.

The topological cookbook does not permit tearing an object or joining two unconnected points. That would be cheating and would allow anything to be transformed into anything else. Try as you might, you cannot turn a sphere into a doughnut or a doughnut into a sphere. Topologically they are as immiscible as oil and water.

Having cataloged all the possible shapes in this realm, topologists have been reaching further. A sphere can be thought of as the three-dimensional world's version of a circle. So, going one level higher, what would be the four-dimensional equivalent of a sphere? And the five-dimensional version and so on?

Seeking to find some order, the French mathematician Henri Poincaré proposed almost a century ago that the world of four dimensions obeys a rule similar to the one that prevails down here: Things without a hole are just different squishings of some canonical four-dimensional answer to the sphere.

The technical name for this impossible object is the 3-sphere. Just as an ordinary sphere is a two-dimensional surface curving to form an enclosed object in three-dimensional space, a 3-sphere is a three-dimensional surface curving in on itself in four dimensions.

Every few years someone claims to have tamed this monster, coming forth with a proof of the conjecture that is subsequently torn to shreds. "It's a famous problem, and at any time maybe a dozen people are working on it," Dr. Freedman explained. "Statistically one or two of them will be convinced that they almost have it."

Hearing that a competitor may be on the verge of a breakthrough, "you work for four nights in a row, and then in some crazed state you claim that you've also proved it," he said.

Dr. Perelman has raised the stakes even higher, claiming not only to have finished off the Poincaré Conjecture but to have listed every possible kind of object that can exist in the four-dimensional world ?" 3-spheres and who knows what else, an atlas of an invisible neighboring realm. His approach is innovative enough to make many topologists optimistic that the answer is finally in sight.

If so, when the celebrations are over, the result may be met with a bit of melancholy.

"Say you're a graduate student and you're picking a subject that will become your career," Dr. Freedman said. Do you really want to pick an area whose main problem has just been solved?

"It's not a tragedy, because these people will go into other things," he said. "But it's a small sorrow for this particular branch of topology. You won't have the brilliant young people you have now."


Matek

Chà .. nếu mà chứng minh không có lỗi .. thì xơi gọn 1 triệu đô của bác Clay rồi .... thích thật .....
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"

Các bác làm ơn dịch cho em với,em học tiếng Pháp nên ko biết tiếng Anh,cám ơn các bác nhiều!

Theo yêu cầu của bác Computerdeptrai .. tớ dịch bài này để các bác tiện theo dõi ... Dịch phiên phiên thôi nhé .. các bác thông cảm ... Mấy năm tới thể nào cũng có trào lưu làm Toán theo hướng tôpô chiều thấp mất thôi ....
THẾ GIỚI CỦA NHỮNG HÌNH ĐÔ-NẮT VÀ HÌNH CẦU
Viết bởi George Johnson
Tạp chí New York Times
Mặc dù rằng bạn sẽ không bao giờ đoán ra khi đọc một số các bài báo nghiên cứu, nhưng vấn đề chính trong Toán học lại là làm cho mọi thứ trở nên đơn giản hơn. Không ai coi trọng vấn đề này bằng các nhà nghiên cứu tôpô, một nhóm ít những người luôn khẳng định rằng, thế giới này, cho dù nó hiện ra phức tạp muôn màu như thế nào đi nữa, thì cũng chỉ thực sự được hình thành bởi 2 dạng cơ bản, các hình donut và hình cầu.
Thực ra thì vấn đề có hơi phức tạp hơn một chút - Chẳng hạn như, hình donut có thể có nhiều hơn một lỗ hổng, và các nhà nghiên cứu tôpô thì không giới hạn bản thân ở không gian 3 chiều. Gần đây, sự chú ý được dồn vào việc một nhà Toán học người Nga khẳng định đã chứng minh được bài toán nổi tiếng của thế kỷ liên quan tới những "siêu donut" và "siêu hình cầu" tồn tại trong các không gian 4 chiều.
Vật lộn với sự trừu tượng trơn tuột như vậy, Tiến sĩ Grigori Perelman của viện Toán học Steklov, tại thành phố St. Peterburg, nói rằng ông ta đã tìm ra chứng minh cho giả thuyết Poincaré, một giả thuyết cho sự giải thích về các hình khối chiều cao này. Ông ta đã phác họa tư tưởng và hướng chứng minh của mình đầu tháng này trong một loạt các bài giảng tại trường MIT.
Nếu như chứng minh của ông ta là đúng, thì đây sẽ là tin lớn nhất trong Toán học kể từ năm 1995, khi mà tiến sĩ Andrew Wiles, giáo sư tại trường đại học Princeton, đã giải quyết bài toán cuối cùng của Fermat. "Chiến thắng" sẽ được tô đậm bởi giải thưởng 1 triệu đô la của viện nghiên cứu Clay tại Cambridge, bang Massachussette, trao cho việc giải quyết một trong 7 vấn đề được coi là quan trọng nhất của thiên niên kỷ.
Tiền nong hầu như không phải là vấn đề chính. Nhưng việc có người có thể kiếm sống bằng cách trăn trở và suy nghĩ những vấn đề như vậy cho thấy rằng, xã hội hiện đại ngày nay, dù đôi lúc có vẻ rất mong manh, nhưng vẫn là một thể thống nhất.
"Khi mà bạn bỏ ra nhiều năm trằn trọc với những vấn đề này, chúng trở thành rất "thật" đối với bạn cũng như gia đình của bạn vậy", tiến sĩ Michael Freedman, một nhà Toán học tại Microsoft, người đã để lại dấu ấn của mình 22 năm trước bằng chứng minh cho giả thuyết Poincaré trong chiều 5, nói. Trước đó, vấn đề đã được chứng minh cho tất cả các không gian với chiều lớn hơn 5.
"Khá buồn cười khi nhận ra rằng bài toán trong chiều lớn lại trở thành dễ hơn trong chiều thấp", tiến sĩ Freedman nói. Chúng cho một không gian rộng hơn để xoay xở.
Tôpô là môn khoa học nghiên cứu những tính chất không thay đổi khi vật thể bị bẻ cong, kéo dài, hay ép nhỏ lại. Một cốc uống café với tay nắm cong, một bugle (xin lỗi các bác, tớ không biết từ này dịch sang tiếng Việt như thế nào), và một vòi phun nước trong vườn, tất cả đều có thể được biến dạng trở thành hình donut (hay chính xác hơn được gọi là "torus"). Cũng như vậy, tất cả những thứ không có lỗ xuyên qua - một cây bút chì, một viên gạch, một mẩu mì speghetti (nhưng không phải loại rigatoni, loại có hình một chiếc donut dài và mỏng) - đều có thể đuợc biến dạng thành một hình cầu.
Các tác động của tôpô không cho phép "xé" một vật thể, hay nối 2 điểm không dính liền nhau. Điều này bị coi là "lừa gạt", và nó sẽ cho phép biến bất cứ hình thể gì trở thành bất cứ hình thể nào khác. Bạn có thể thử, bạn sẽ không bao giờ biến một hình cầu thành một hình donut, hoặc ngược lại, được. Các nhà nghiên cứu tôpô cho rằng chúng khác biệt cũng như đất và nước vậy.
Khi đã đặc trưng tất cả các hình thể trong thế giới hiện tại, các nhà nghiên cứu tôpô đi thêm bước nữa. Một hình cầu có thể coi là một phiên bản 3 chiều của một hình tròn. Vì thế, khi thêm một chiều nữa, phiên bản 4 chiều của một hình cầu sẽ là gì? Và phiên bản 5 chiều của nó .. v .. v ... ?
Để tìm kiếm một trật tự nào đó, nhà Toán học người Pháp Henri Poincaré đã đặt ra giả thuyết khoảng gần 1 thế kỷ trước rằng, thế giới 4 chiều tuân theo những quy luật tương tự như thế giới mà chúng ta đang sống: Những vật thể không có lỗ chỉ là những biết dạng của một "siêu hình cầu 4 chiều" chuẩn tắc nào đó.
Tên gọi "kỹ thuật" của vật thể này là 3-hình cầu. Cũng như việc một hình cầu bình thường là một mặt cong 2 chiều tự khép kín trong không gian 3 chiều, một 3-hình cầu là một siêu mặt cong 3 chiều tự khép kín trong không gian 4 chiều.
Cứ khoảng một vài năm, lại có người tự cho rằng đã khuất phục được "con quỷ", và đưa ra một chứng minh cho giả thuyết này, nhưng sau đó những sai sót đều được tìm ra. "Đây là một bài toán nổi tiếng, và tại mỗi thời điểm đều có hơn 10 người đồng thời nghiên cứu", tiến sĩ Freedman giải thích. Theo thống kê, thì khoảng 1, hay 2 người trong số họ sẽ cho rằng họ gần như đã tìm được cách giải quyết vấn đề.
Khi nghe người nào đó trong số những người đang "tranh đua" với mình tuyên bố rằng họ đã ở ngay ngưỡng cửa của sự đột phá, "anh sẽ làm việc liên tục trong 4 đêm liền, và rồi tại một thời điểm hơi khùng, anh cũng cho rằng mình đã giải quyết được vấn đề", tiến sĩ nói.
Tiến sĩ Perelman đã nâng vấn đề cao hơn một mức, khi cho rằng không những đã giải quyết được giả thuyết Poincaré, mà còn có thể liệt kê tất cả các hình thể tồn tại trong không gian 4 chiều - Chúng gồm 3-hình cầu, và ai biết được những gì nữa, cả một sưu tập về cái thế giới trừu tượng bên cạnh. Hướng tiếp cận của ông ta đầy sáng tạo, làm cho nhiều nhà nghiên cứu tôpô lạc quan tin rằng câu trả lời cuối cùng đã ở trong tầm mắt.
Nếu là như vậy, khi sự "ăn mừng" đã qua, kết quả này có lẽ sẽ được đón tiếp bằng một chút bi quan.
"Ví dụ, bạn là một sinh viên cao học, và bạn đang lựa chọn một chuyên ngành cho mình", tiến sĩ Freedman nói, "Bạn thật sự sẽ chọn ngành mà bài toán chính vừa mới được giải quyết xong?".
"Đây không phải là một thảm hoạ, bởi vì những người đó sẽ đi theo những chuyên ngành nghiên cứu khác", tiến sĩ nói, "Nhưng một nỗi cô quạnh nho nhỏ cho hướng nghiên cứu cụ thể này trong ngành tôpô. Chúng ta sẽ không có những nhà toán học trẻ đầy tài năng như chúng ta đang có hiện nay nữa".
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"
Được CXR sửa chữa / chuyển vào 11:41 ngày 23/04/2003

Bác nói thế này em lại tưởng càng ít chiều nó càng dễ ra

Bác nói thế này em lại tưởng càng ít chiều nó càng dễ ra
[/QUOTE]
Ơ .. "nhận ra rằng" và "cho rằng" (hay "nghĩ rằng") khác nhau chứ nhỉ .....
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"

2 bác matek va CXR ăn ý nhau quá nhi????
------------------------------------
Có khi mưa ngoài trời là giọt nước mắt em.

Thế cái giả thuyết Poincare này phát biểu như thế nào nhỉ? Và ông Tiến sĩ Grigori Perelman đã chứng minh được cái gì? Có phải là : "Một mặt trong R4 là tương đương tôpô với xuyến 3 chiều (3_torus) hoặc mặt cầu 3 chiều ( 3_sphere ) đính p cái xuyến 3 chiều với p là số tự nhiên " không?
Và trong Rn, n>=5 thì với gthuyết Poincare người ta đã làm được những kết quả gì?
Xin lỗi vì thông tin toán học của tui out up date quá. Bác nào bảo giúp tui với.
Cuộc sống tươi đẹp chính bởi vì nó luôn thay đổi

Giả thuyết Poincaré khẳng định rằng: Mỗi hình thể không có lỗ đều tương đương (qua phép biện dạng tôpô) với một siêu hình cầu. Trong không gian n chiều với n > 5, bài toán này được chứng minh lâu lắm rồi (tớ chả nhớ ai chứng minh). Với n = 5, ông Freedman chứng minh cách đây 22 năm - Hình như "cụ" được giải thưởng Field cho chứng minh này (tớ cũng không nhớ rõ lắm). Vấn đề còn mở trong những năm gần đây là cho trường hợp n = 4. Ông Perelman cho rằng không những ông ta chứng minh được giả thuyết này cho n = 4, mà còn có thể liệc kê tất cả các cấu hình trong không gian 4 chiều (qua phép tương đương tôpô). Những cấu hình có thể là 3-hình cầu, và các hình donut.
Xin nói thêm rằng, trong lý thuyết tôpô, những bài toán khó thường là ở chiều thấp - Chẳng hiểu sao, nhưng khi đặt trong chiều cao, vấn đề thường trở nên đơn giản hơn rất nhiều - Như ông Freedman đã nói (trong bài bác matek post), có lẽ không gian chiều cao cho một khoảng không đủ lớn để người ta có thể xoay xở tìm ra cách giải quyết các vấn đề. Ngành low dimensional topology (tôpô chiều thấp) là một ngành rất khó của toán học hiện đại.
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"
Được CXR sửa chữa / chuyển vào 11:06 ngày 24/04/2003

Thế cho em hỏi là cậu bé trong avatar của bác CXR là tương đương với torus hay là sphere ạ
Trước thềm chôn hoa rầu rầu người ơi!