Thử sức một chút với bài toán tưởng chừng khá dễ nào ...

Thử sức một chút với bài toán tưởng chừng khá dễ nào ...

Có bài toán sau phát biểu khá đơn giản .. các bác thử sức tí nào ...

Cho S = C[x1, x2, ..., xn] là một vành đa thức trên trường số phức (lấy số thực cũng được). Gọi Sd là không gian vector trên C gồm tất cả các đa thức bậc d trong S. Giả sử V là một không gian đơn thức con của S (nghĩa là các phần tử sinh của V chỉ gồm các đơn thức), ký hiệu S1V là không gian vector sinh bởi các phần tử có dạng { xi M | 1 <= i <= n, M là đơn thức trong V }.

Đặt a(d,n) = max { dim V | V là không gian đơn thức con của Sd sao cho dim S1V = n dim V }.

Tìm a(d,n).



"Nguyện mỗi người có một niềm vui"


Được CXR sửa chữa / chuyển vào 00:30 ngày 30/06/2003

----------------------------------------------------------------------------------
Co một điều em thắc mắc :Em không hiểu Sd ( và cả d) đóng vai trò gì ở đây vì nếu V đã là không gian sinh bởi các đơn thức thì đương nhiên nó là kg con của Sd với mọi d!!!!
Lời giải như sau:
Gọi X là kgian sinh bởi x1,x2,...xn. Xét hai trường hợp:
-Trong V có số 1: Gọi các phần tử sinh của V là 1,c1,c2..cm; ci thuộc X. Có thể thêm vào c(m+1),...cn để {ci} trở thành cơ sở của X.Khi đó S1V sinh bởi {ciM | trong đó M thuộc V:1<=i<=n} nghĩa là có thể thay hệ {xi} bằng hệ {ci} (Tại sao?) .
Bằng cách đếm trực tiếp ta có dimS1V la n*(m+1) - m*(m-1)/2
(Cơ sở của nó là {ci},{ci*cj:1<=i<=n,1<=j<=m) và dimV là m+1. Để có dimS1V=ndimV thì m=1 hoặc m=0 suy ra dim V= m+1 <=2. Có thể chọn V có cơ sở là {1,x1} để có đẳng thức.
-Nếu 1 không ở trong V thì có thể thêm 1 vào V với nhận xét khi do S1V cũng được thêm n chiều ứng với các phần tử độc lập là x1,x2,..xn nên không ảnh hưởng đến điều kiện dimS1V= ndimV.
Ta có thể dùng kết quả của trường hợp trên
Tóm lai max dimV=2!!

Siêu à??! Bình thường thôi!! Thế bác vôte em mấy sao đi!!

Bác dickchimney có lời giải hay nhưng mà chưa đúng. Sd là không gian các đơn thức bậc d. Điều kiện V là không gian con của Sd loại bỏ ngay khả năng bác có thể thêm 1 vào V vì 1 là đơn thức bậc 0.
Chỉ số a(d,n) phụ thuộc vào cả d = bậc các đơn thức trong V, và n = số các biến.
Các bác cố gắng làm tiếp nhé ...
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"
Bạn hãy nhấn vào đây để vote cho tôi ...

Bác xương rồng à!
Như vậy đơn thức bậc d là gì vậy bác nói rõ ra cho mọi người...
Lúc thì đa thức lúc thì đơn thức!!
Có mỗi em làm bài của bác thôi đấy vì người khác ko hiểu còn em hiẻu sai!!!! hì hì
Vote cho bác 2 sao vì cái tội ra đề ko rõ ràng!!

ặ cĂi bĂc này quên tiỏng Viỏằ?t rỏằ"i à .. hihi .. Này nhâ, "'a" là nhiỏằu, còn "'ặĂn" là mỏằTt. Vư dỏằƠ xyz là mỏằTt 'ặĂn thỏằâc, còn xy + yz + zx là mỏằTt 'a thỏằâc. ĐặĂn thỏằâc bỏưc d là 'ặĂn thỏằâc có tỏằ.ng cĂc sỏằ' mâ cỏằĐa cĂc biỏn bỏng d. Chang han xyz hay x^2y deu co bac 3.
Vỏằ>i n=3 lỏằi giỏÊi cỏằĐa bài toĂn này khĂ 'ỏạp. Vỏằ>i n=4 thơ phỏằâc tỏĂp hặĂn, nhặng cĂch giỏÊi 'ỏạp không kâm. Trong cỏÊ hai trặỏằng hỏằÊp này, lỏằi giỏÊi cỏằc kỏằ sặĂ cỏƠp. Vỏằ>n n > 4, bài toĂn còn mỏằY - Tặ tặỏằYng chỏc vỏôn thỏ, nhặng 'i vào không gian nhiỏằu chiỏằu nên hặĂi trỏằôu tặỏằÊng mỏằTt chút. CĂc bĂc thỏằư xem.
"Nguyỏằ?n mỏằ-i ngặỏằi có mỏằTt niỏằm vui"
BỏĂn hÊy nhỏƠn vào 'Ây 'ỏằf vote cho tôi ...

dickchimney và CXR là một người hay sao ý các bác ạ. Tự ra đề tự trả lời tự vote, kkk

Đúng là chỉ tưởng chừng như dễ thôi. Tớ nghĩ không có công thức chính xác cho a(d,n) mà chỉ có thể chặn trên chặn dưới được thôi.
Có thể chứng minh được a(d,n) < [d^(n-1) * n^(3/2) * (n!)]/(Pi* 4^n) không mấy khó khăn bằng cách tính volume của hình cầu, mặt cắt trong không gian nhiều chiều.
Rất tò mò không biết bác CXR có lời giải tốt hơn không!!!
Matek

Chặn của bác matek với n = 3, 4 bị lỏng rồi .. Bác cho hình cầu nên bị thừa nhiều. Để tính chính xác, phải tính volume của các hình khối đều. Ví dụ, với n = 3 thì tính diện tích tam giác đều, với n = 4 thì tính thể tích tứ diện đều .. v .. v. Bài toán này tớ chỉ biết lời giải cho n=3, 4. Với n = 5, có người nói rằng đã tính được rồi. Với n > 5, có một vài chặn, trong đó chặn của bác matek là một trong các chặn đẹp và đơn giản.
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"