tớ vốn dốt tiếng Anh, bạn nào làm ơn dịch hộ đề thi này cho mình với. Thank nhiều

tớ vốn dốt tiếng Anh, bạn nào làm ơn dịch hộ đề thi này cho mình với. Thank nhiều

R is the set of real numbers. [a, b] represents the closed interval, and (a, b) represents the open interval.

A1. A is the 4 x 4 matrix a11 = a22 = a33 = a44 = a, a12 = a21 = a34 = a43 = b, a23 = a32 = -1, other entries 0, where a, b are real with a > |b|. Show that the eigenvalues of A are positive reals.
A2. B is the 3 x 3 matrix with b11 = a, b22 = d, b33 = q, b12 = bẻ/ẻ, b13 = cẻ/ẻ, b21 = bẻ/ẻ, b23 = pẻ/ẻ, b31 = cẻ/ẻ, b32 = pẻ/ẻ, where a, b, c, d, p, q are reals and ẻ, ẻ, ẻ are non-zero reals. Show that B has real eigenvalues.
A3. Dk is the k x k matrix with 0s down the main diagonal, 1s for all other entries in the first row and first column, and x for all other entries. Find det D2 + det D3 + ... + det Dn.
A4. In denotes the n x n unit matrix (so I11 = I22 = ... = Inn = 1, other entries 0). P and Q are n x n matrices such that PQ = QP and Pr = Qs = 0 for some positive integers r, s. Show that In + (P + Q) and In - (P + Q) are inverses.
A5. A is a square matrix such that A2003 = 0. Show that rank A = rank(A + A2 + ... + An) for all n.
A6. A is the 4 x 4 matrix with a11 = 1 + x1, a22 = 1 + x2, a33 = 1 + x3, a44 = 1 + x4, and all other entries 1, where xi are the roots of x4 - x + 1. Find det A.
A7. p(x) is a polynomial of order n > 1 with real coefficients and m real roots. Show that (x2 + 1)p(x) + p''(x) has at least m real roots.
B1. Find all continuous functions f : Rõ?'R such that f(x + 2002) ( f(x) + õ^s2003) = -2004 for all x.
B2. Find all continuous functions f : [0, 1]õ?'R which are differentiable on the open interval (0, 1) and satisfy f(0) = f(1) = 1, and 2003 f '' (x) + 2004 f(x) õ?Ơ 2004 for all x in (0, 1).
B3. Given a < b, and a differentiable real-valued function f on [a, b] such that f(a) = - (b - a)/2, f(b) = (b - a)/2 and f( (a+b)/2 ) is non-zero, prove that there are three distinct numbers c1, c2, c3 in (a, b) such that the product f ''(c1) f ''(c2) f ''(c3) = 1.
B4. Let xk = 1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + k/(k+1)!. Find lim (x1n + x2n + ... + x2003n )1/n as nõ?'õ^z.
B5. f : [0, ẽ?/2]õ?'R is continuous, and f(0) > 0, õ^ô0ẽ?/2 f(t) dt õ?Ô 1. Prove that for some z in (0, ẽ?/2) we have f(z) = sin z.
B6. Given a < b, we are given any continuous functions f, g : [a, b]õ?'[a, b] such that f( g(x) ) = g( f(x) ) for all x, and f is monotonic. Show that f(z) = g(z) = z for some z in [a, b].

R là tập hợp các số thực, [a,b] là khoảng đóng(hay còn gọi là đoạn), (a,b) là khoảng (mở).
A1. A là ma trận cấp 4 x4, với các số hạng của ma trận a11=a22=a33=a44 = a
a12=a23=a34=a43 =b
a23=a32= -1
các số hạng khác = 0, a và b là số thực với a > |b|
Hãy CM rằng các giá trị đặc trưng(hoặc là giá trị riêng) của ma trận A là số thực dương.
A2. B là ma trận cấp 3x3 với các số hạng ma trận
b11 = a, b22 = d, b33 = q, b12=bα/β, b13 = cα/γ, b21 = bβ/α, b23 = pβ/γ, b31 = cγ/α, b32 = pγ/β
(a,b,c,d là số thực và α, β, γ là những số thực khác 0)
CMR B có giá trị đặc trưng.
A3 Dk là ma trận cấp k x k với những số hạng ở đường chéo chính có giá trị 0 và những số hạng khác ở hàng và cột thứ 1 = 1, tất cả những giá trị khác = x
0 1 1 1 1 1........1
1 0 x x x x x........x
1 x 0 x x x x.........x
. .......0..................
. ...........................
1 x x x x x x ........0
(tự nhiên tớ nổi hứng làm quả ma trận "hoành tráng", bác nhìn ko đẹp thông cảm nhé)
Hãy tính det D2 + det D3 + ... + det Dn.
A4. In biểu thị ma trận cấp n x n (với số hạng I11=I22=I33=....=Inn=1, các số hạng khác = 0). P và Q là ma trận cấp n x n, sao cho PQ = QP và Pr = Qs = 0 với r,s là số nguyên dương.
Hãy cm In + (P + Q ) và In - (P + Q) là ma trận đối ngẫu.
(hai ma trận là ma trận đảo của nhau)
A5.A là 1 ma trận vuông với A2003 = 0. Hãy chỉ ra rằng hạng của ma trận A = hạng của ma trận (A + A2 + .....+ An) với mọi n.
(Rank A là hạng của ma trận A)
A6. A là ma trận cấp 4 x 4 với a11= 1 + x1, a22 = 1 + x2, a33 = 1 + x3, a44 = 1 + x4 và các số hạng khác bằng 1. Với xi là nghiệm của ptr x4 - x + 1. Tìm det A.
A7. p(x) là 1 đa thức bậc n >1 với hệ số thực và m nghiệm(ở PTTH VN thường thì số thực là nghiễm nhiên nên chỉ hay nói là m nghiệm thôi, thực ra nghiệm đó là số thực).
Hãy chứng minh rằng (x2 + 1)p(x) + p''''''''(x) có ít nhất m nghiệm (thực)
B1. Tìm tất cả các hàm số liên tục f đi từ R --> R sao cho f(x + 2002) ( f(x) + ^s2003) = -2004 với mọi x.
B2. Tìm tất cả các hàm liên tục f : [0, 1]?'R có đạo hàm trong khảong mở (0,1) và thoả mãn f(0) = f(1) = 1, và 2003 f '''''''' (x) + 2004 f(x) ? 2004 với mọi x thuộc (0, 1)
B3. Cho a <b, và đạo hàm của hàm f có giá trị thực trên đoạn [a,b] sao cho f(a) = - (b - a)/2, f(b) = (b - a)/2 và f( (a+b)/2 ) khac 0. Hãy chứng minh rằng có 3 số khác nhau c1, c2 và c3 trong khoảng (a,b) sao cho tích f ''''''''(c1) f ''''''''(c2) f ''''''''(c3) = 1.
B4. Cho xk = 1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + k/(k+1)!. Tìm Find lim (x1n + x2n + ... + x2003n )1/n khi n?'^z.
B5. Hàm f: [0, ?/2]?'R là liên tục và f(0) > 0, ^0?/2 f(t) dt ? 1. CMR với z trong khoảng (0, ?/2) chúng ta có f(z) = sin z.
B6.Cho a < b, hàm liên tục f, g: [a,b] --> [a,b] sao cho f( g(x) ) = g( f(x) ) với mọi x và f đơn điệu.
Hãy chỉ ra rằng f(z) = g(z) = z với z in [a, b].
Tớ học ma trận ở DE nên văn vẻ nghe hơi nhôm nhoam(tốt gỗ hơn tốt nước sơn nhỉ j/k), nhưng hi vọng vẫn giúp bác được tí chút. Chắc bác này đang năm thứ nhất ạ?
Được Sam&teeny_4ever sửa chữa / chuyển vào 11:28 ngày 09/10/2004