Toán giải tích

Bạn cứ tưởng tượng, trước mặt xa xa là bờ vực, cứ năm năm bạn đi được một bước tiến lên ... . Khi số bước chân của bạn tiến dần đến vô cùng thì bạn sẽ rơi tõm xuống vực!

POUR LA PATRIE, LES SCIENCES ET LA GLOIRE!

Hình như các cao thủ nhà ta đang nói về nhập môn giải tích. Hay thật.Bác chitto là giáo viên Toán nhỉ?// Mua Hn ơi, cứ bám lấy bác Chitto mà hỏi ấy. nói chung mấy cái này, em đang là..Nên còn nhớ nhiều, có chi muahn cứ nhờ???
Chẳng biết người viết topic này đâu nữa??/

Bi lua roi, o ben tiep cap ba cung hoc limite, may ******c Toan ma ngay ngo the.
Ma vie est une longue voyage

Hơ, em có dám lừa ai đâu ạ? Em không biết thì fải hỏi thật, nhưng đọc bài reply của các bác thì em mờ tịt luôn. Nhất là bài của bác @Betty, em tí nữa thì xỉu, may mà trước đó lót dạ cốc chè, không có thì... Mà cũng may (cho em, chắc cho cả các bác vì khỏi bị con nhỏ lắm lời vặn vẹo), em mới nhờ được một anh chuẩn bị kèm hộ. Vậy là đợt tới thi khỏi lo rồi. Cảm ơn các bác đã nhịt tình giúp em nha!
MuaHN

Khái niệm giớI hạn có thể trình bày theo nhiều cách, chẳng hạn như bác Betty (và nhiều SGK) bắt đầu đi từ khái niệm dãy số, rồi mớI tớI giới hạn của hàm số ?
Bản thân tôi lúc học cũng theo trình tự này, lúc đó phảI nói là ?~lùng bùng?T cả đầu óc. Sau đây tôi xin trình bày theo một hướng khác với hi vọng sẽ giúp MuaHN nắm bắt được khái niệm gìớI hạn dễ hơn một tí:
Để nắm được khái niệm giới hạn, trước nhất cần biết qua khái niệm lân cận.
Để ý rằng trong đời sống thường ngày, khái niệm lân cận là có tính tương đối. Nếu ta chỉ đi bộ thôi thì có thể gọi phạm vi trong vòng bán kính vài mươi mét so với nơi ta đang đứng là một lân cận, nếu ta có xe gắn máy thì bán kính có thể tăng lên cả chục cây số, còn nếu dùng phượng tiện máy bay thì một khoảng cách vài trăm cây số vẫn được xem là gần.
Trong toán học cũng thế, ngườI ta định nghĩa lân cân của một điểm P trong không gian là tập hợp tất cả những điểm cách P một khoảng cách bé hơn một số r > 0 cho sẵn (giá trị của r xác định độ gần, thường khá nhỏ - lưu ý ?~nhỏ?T ở đây có tính tương đối như đã nêu). Đó chính là quả cầu mở (quả cầu bỏ đi phần biên) tâm P bán kính r.
Còn nếu chỉ giới hạn trong mặt phẳng thôi thì đó là hình tròn (đĩa tròn) mở tâm P bán kính r.
Và nếu chỉ xét trên đuờng thẳng thì đó là đoạn thẳng mở có độ dài 2r nhận P làm trung điểm

Nếu P ở trên đường thẳng thực và có toạ độ là a thì thay vì nói lân cận của P ta nói lân cận của a, theo trên đó là đoạn (a-r, a+r). Từ đó, ta có khái niệm lân cận của một số thực a. Dùng kí hiệu toán học thì đó là tập hợp các số thực x sao cho |x ?" a| < r.
Tiếp đến cũng cần biết qua về khái niệm lân cận của vô tận (vô cùng/infinity). Nó có hơi khác lân cận của một số thực một tí vì đối với vô tận ta không thể nói tớI độ gần r.
Ở đây ta cũng mượn cách tiếp cận từ đời sống thực. Khi chụp ảnh chẳng hạn, một khoảng cách mươi mấy mét trở lên được xem là vô tận. Đối vớI các dụng cụ quang học khác thì vô tận có thể xa hơn, chẳng hạn lớn hơn khoảng cách từ trái đất tớI mặt trăng, mặt trời hay một vì sao xa xăm nào đó? (dù lớn bao nhiêu thì đó vẫn là các con số hữu hạn). Theo cách tiếp cận này, ta có thể định nghĩa lân cận của vô tân là tập hợp tất cả các số thực x > N, với N > 0 . Hay dùng ngôn ngữ kí hiệu, đó là tập hợp các số thực x sao cho x > N. (Một vài tác giả xem ?~+ vô tận?T và ?~?" vô tân?T đều là vô tận thì thay x > N bởi |x| > N )
Bây giờ ta bàn tiếp đến khái niệm giới hạn. Cũng bắt đầu bằng một ví dụ trong thực tế. Giả sử bằng cách quan sát và tính toán các nhà thiên văn dự kiến một thiên thạch M sẽ bay đến một vị trí P nào đó trong bầu khí quyển vào thờI điểm t0. Nếu điều này đúng thì khi thời gian t càng gần t0 (ở trong lân cận của t0), M sẽ càng gần P (ở trong lân cận của P). Còn nếu điều này sai thì cho dù t có gần t0 bao nhiêu đi nữa ( | t ?" t0 | < r vớI bất kì số r > 0 ?~nhỏ?T nào) thì M vẫn có một khoảng cách tới P (khoảng cách từ M tới P lớn hơn hoặc bằng một số R nào đó). Diễn tả theo lối toán học: P không là gìớI hạn của M (hay M không tiến về P) khi t tiến về t0 nếu:
vớI mọi số r > 0 tồn tạI một số R > 0 sao cho với mọi t thoả 0 < |t ?" t0| < r nhưng d(M,P) > R ( d(M,P) là khoảng cách giữa M và P).
Phủ định mệnh đề này ta sẽ có được định nghĩa giớI hạn : P là giớI hạn của M (hay M tiến về P) khi t tiến về t0 nếu:
Vớí mọI số R > 0 cho sẵn, tồn tạI một số r > 0 sao cho vớI mọI t thoả 0 < |t ?" t0| < r thì d(M, P) < R.

Chú ý là thiên thạch M có thể đến vị trí P rồi bay tiếp mà cũng có thể bị cháy rui hoàn toàn trước khi đến vị trí P. Trong cả 2 trường hợp này, P đều được xen là vị trí giới hạn của M (khi t tiến về t0). Trong truờng hợp sau t không thể bằng t0 (và M không tồn tại ở thời điểm t0) nên trong định nghĩa ta cần nêu thêm điều kiện 0 < | t ?" t0 | để định nghĩa có thể bao quát cả 2 trường hợp <có lẻ do điều tế nhị này mà bác CXR đã chê ví dụ trong SGK PT của ta>. Thật ra trong truờng hợp sau này, t không thể có giá trị lớn hơn t0 nên bất đẳng thức đã nêu có thể viết là 0 < t0 ?" t < r (không cần kí hiệu giá trị tuyệt đốI), từ đó ta có giới hạn bên trái (t tiến về t0 nhưng luôn nhỏ hơn t0), tương tự ta cũng có giới hạn bên phải khi 0 < t ?" t0 < r.
Cũng để ý thêm là ở đây ta đã xem thiên thạch M như là một điểm di động trong không gian và tương ứng vớI mỗI thờI điểm t vị trí của thiên thạch là duy nhất (mốI quan hệ giữa t và M chính là một quan hệ hàm trong toán học, vị trí của M phụ thuộc vào t và toán học thường kí hiệu M(t) thay cho M để làm rõ hơn mốI quan hệ với t. Như thế, phần trên thực chất là việc trình bày khái niệm giớI hạn của môt hàm từ (một phần của) tập các số thực R sang không gian thực R3.
Chỉ cần hạn chế quan hê hàm như trên vào một hàm thực ta sẽ đuợc định nghĩa chính thức của khái niệm giới hạn như các SGK trình bày:
Cho y = f(t) là một hàm thưc xác định trên một lân cận của t0, số thực L được gọI là giớI hạn của hàm f(t) khi t tiến về t0 nếu:
vớI mỗi E > 0 cho sẵn, tồn tại số d >0 sao cho với mọi t thoả 0 < | t ?" t0 | < d thì | f(t) ?" L | < E.
Kí hiệu : L = lim t --> t0 f(t) hay
lim t --> t0 ?" f(t) cho giớI hạn bên trái và
lim t --> t0 + cho giớI hạn bên phải
(Do có hơi bất tiện khi post bài nên ở đây t --> t0 được viết với dạng subscript thay vì phải vết ngay bên dưới chữ lim)
Trong định nghĩa trên nếu thay t0 bằng vô tận (và lân cân của t0 thành lân cận của vô tận, tức là t > N) ta có định nghĩa giới hạn ở vô tận, còn nếu thay L bằng vô tận ta có giới hạn vô tận, và sau cùng nếu thay t0 lẫn L bằng vô tận ta sẽ có giới hạn vô tận ở vô tận. Từ đó ta có thể coi giớI hạn của dãy số chỉ là một trường hợp riêng về giới hạn ở vô tận của môt hàm thực vớI biến số tự nhiên. ....
Ví dụ : lim t -->1 (2t + 1) = 3
lim t -->oo (1 / t ) = 0
lim t -->2- [t] = 1 và lim t -->2+ [t] = 2 với [t}] là phần nguyên của số t
lim n -->oo (1 / 2n) = 0
Phần trình bày nêu trên khá dài dòng nên không dám kéo dài thêm nữa, nếu MuaHN thấy OK sẽ trình bày tiếp các điều khác mà MuaHN còn thắc mắc
Được phan2 sửa chữa / chuyển vào 11:33 ngày 09/04/2004

Hix, hỏi về limit những khái niệm cơ bản mà bác vác cả "hàng xóm" vào làm gì Cứ từ từ ko lại làm MuaHN sợ quá chạy đi mất.

Hi`, có ai biết trang web na`o có đề thi trắc nghiệm toán A2 không nhi? Tự nhiên sang học kì 2 này trường tớ bắt thi cả trắc nghiệm cả tự luận, tớ đang cuống cuồng lên tìm sách và ôn thi . Làm ơn giúp nha, mong la` ... kịp hichic,, Ah nếu không thì tài liệu online về hàm nhiều biến, ánh xạ tuyến tính, chuỗi cũng được, xem có gì hay và mới lạ không . Cám ơn nha ..