Toán TH Cơ Sở - Nhờ giải giúp

Toán TH Cơ Sở - Nhờ giải giúp

Bạn em có nhờ em giải bài toán sau đây :

Trên 3 cạnh của một tam giác bất kì, dựng về phía bên ngoài 3 tam giác đều. Chứng minh rằng các tâm của 3 tam giác đều này là lập thành một tam giác đều.

Em loay quay mãi nhưng chỉ giải được bằng cách dùng kiến thức lượng giác lớp 10. Bác nào giải được bằng cách chỉ dùng kiến thức từ lớp 9 trở xuống xin chỉ giúp, hết sức cám ơn.

Nhân đây em cũng xin post các giải của em để các bác tham khảo:

Gọi I, J, K là tâm của 3 tam giác đ ều dựng bên ngoài tam giác ABC lần lượt trên các cạnh BC, CA và AB. Dễ thấy các tam giác IBC, JCA và KAB đều cân và có góc đáy bằng 30o. Từ đó ta có:
IB = IC = a/2cos30o = a /sqr3,
tương tự JC = JA = b / sqr3 , (KA = KB = c / sqr3)
Cũng để ý rằng góc ICJ = C + 60o nên theo định lí hàm số cosine trong tam giác ICJ ta có:
IJ2 = (a /sqr3)2 + (b / sqr3)2 - 2 (a /sqr3) ( b / sqr3) cos (C+60o)
= 1/3 [a2 + b2 - 2 ab cos (C + 60o)]
= 1/3 [a2 + b2 - 2 ab (cos C cos 60o - sinC sin 60o)]
= 1/3 (a2 + b2 - ab cosC + ab sqr3 sinC)
= 1/3 (a2 + b2 - ab cosC + 2Ssqr3) (S là dt tgiácABC) = 1/3 [a2 + b2 - ab (a2 + b2 - c2) / 2ab + 2 Ssqr3]
= 1/6 (a2 + b2 + c2 + 4 Ssqr3)
Biểu thức cuối cùng này đối xứng theo a,b,c nên ta cũng có:
JK2 = KI2 = 1/6 (a2 + b2 + c2 + 4 Ssqr3) (hoặc dùng cách tính toán tương tự cũng cho kết quả này)
Do đó IJ = JK = KI hay tam giác IJK đều.

Giả sử là tam giác ABC, dựng ra ngoài 3 tam giác đều ABD (tâm I), BCE(J), ACF(K). Chứng minh được AE=BF=CD
(tam giác ABE=DBC; ADC=ABF)
tam giác BIJ và BAE đồng dạng (góc B bằng nhau, hai cạnh kề tỉ lệ theo tỉ số a=2/3 trung tuyến/cạnh tam giác đều)
suy ra IJ/AE=a, tương tự JK/BF=a, IK/CD=a suy ra dpcm

Cám ơn bạn diennang79 đã giúp dùm. Cách giải rất đẹp và đơn giản, thế mà tui nghĩ mãi chẳng ra.
Một lần nữa xin cám ơn lòng tốt và sự sốt sắng của bạn.
Chúc bạn luôn vui khoẻ.