TOÁN TỔ HỢP. VOTE 5*

TOÁN TỔ HỢP. VOTE 5*

Chào các bạn
Tôi có lượm được một bài toán tổ hợp khá thú vị. Bạn nào giải được vote 5 * không thương tiếc. Tôi nghe nói bài này thú vị ở chỗ chúng ta không cần nhiều kiến thức, công cụ toán để giải.

Trên mặt phẳng có một vết mực hình dạng bất kì. Biết diện tích của nó nhỏ hơn 1. CMR có thể trải một tấm lưới ô vuông phủ lên mặt phẳng mà không có nút lưới nào dính mực. Biết diện tích 1 mắt lưới bằng 1 ( mắt lưới là ô vuông ).
Chúc các bác vui, khoẻ, có ích.

các bác giúp em với
Vẫn vote 5*

Không hiểu đề!!!

Có nghĩa là trên mặt phẳng có 1 vết mực loang ( mà một số cũng được ), miễn sao tổng diện tích của nó nhỏ hơn 1.
Bây giờ người ta bắt CMR có thể kẻ được một mạng lưới ô vuông cạnh bằng 1 sao cho không điểm mút nào nằm trong vết mực.
Thanks các bác.

Đề như thế mà còn không hiểu. Đây là dạng toán hình học tổ hợp, thường là dạng bài khó nhất trong IMO.

Oài , quên cách giải bài này roài !

Để giải bài này, ta cần chứng minh xác suất đặt mạng lưới để 1 điểm bất kỳ nào đó chạm vết mực là P luôn nhỏ hơn 1.
Trước hết ta đưa ra một số giả thiết mà không làm thay đổi đến tính đúng đắn của bài toán. Thứ nhất, coi mạng lưới chỉ di chuyển tịnh tiến lên ?" xuống và phải ?" trái mà không có chuyển động xoay. Chỉ với chuyển động tịnh tiến mà đã tồn tại khả năng không nút nào chạm mực. Vì các nút mạng là tuần hoàn nên ta chỉ xét chuyển động lên trên 1cm và sang phải cũng 1cm.
Thứ hai, giả thiết luôn luôn chỉ có một nút mạng chạm mực. Như vậy nếu 2 hay nhiều hơn nút mạng chạm vết mực cùng một lúc sẽ làm khả năng không chạm mực càng lớn hơn, hay xác suất chạm vết mực của các nút mạng P càng nhỏ.
Coi một nút mạng thứ i chỉ có thể di chuyển giới hạn trong một ô vuông 1cm2, vì khi nó di chuyển quá 1cm lên trên hoặc sang phải, thì nút kế tiếp sẽ thế vào vị trí của nó. Chia ô vuông 1cm2 đó thành n ô vuông nhỏ vi phân, mỗi ô có diện tích =a. Như vậy số khả năng của các ô mạng có thể có là n (bằng đúng số ô vuông vi phân).
Ta cũng coi vết mực (hoặc các vết mực) là bao gồm các điểm rời rạc (ô vuông) và khi n --> vô cùng thì coi như liên tục.Vết mực sẽ bao gồm m ô (với m<n vì theo đầu bài vết mực có tổng diện tích nhỏ hơn 1cm2).
Xác suất để bất kỳ một nút mạng nào đó chạm vết mực được tính bằng tổng các xác suất của mỗi nút mạng chạm vết mực (vì đã có giả thiết các nút đó không cùng chạm vết mực), hay ta có :
P = (p1+p2 +...+pk)/n với p1, p2..pk là khả năng các nút mạng thứ 1, 2 ..k chạm phải ô vuông vi phân có dính mực và k --> vô cùng (bằng tổng số nút mạng).
Mà ta có p1+p2+..pk = m
Như vậy xác suất P = m/n luôn nhỏ hơn 1, hay luôn tồn tại ít nhất một khả năng mà không có một nút mạng nào chạm vết mực.
Tôi thấy cách lập luận có vẻ chưa chuẩn, có bác nào bổ sung cho hoàn chỉnh.
Được haidelft sửa chữa / chuyển vào 09:42 ngày 16/12/2006

Đọc thấy chuối chuối .Chắc tại vừa thức đêm học lý xong ,ong hết cả đầu .Nhưng cách giải PT chắc chắn đơn giản và dễ hiểu hơn nhiều !

Em thấy cái giả thiết vàng của bác chưa ổn. Bác có thể nói kĩ hơn không?

Đặt 2 vector đơn vị bất kì, vuông góc với nhau lên mặt phẳng, gọi là u và v.
Lấy một lưới bất kì đặt lên mặt phẳng sẽ cắt vết mực ra làm các vết nhỏ hơn. Lưới này nếu dịch chuyển theo vector au+bv với a,b nguyên bất kì sẽ không thay đổi. Vì vậy có thể dịch chuyển các phần mực nhỏ theo vector au+bv với a,b nguyên bất kì mà không làm thay đổi tính chất cắt tại đỉnh hay không cắt tại đỉnh.
Với các giá trị (a,b) phù hợp ta có thể đưa hết vết mực nhỏ về một ô vuông duy nhất, thu được một vết mực mới có diện tích < tổng diện tích các vết mực nhỏ<1.
Như vậy bài toán trở thành một vết mực có diện tích nhỏ hơn 1 và nằm trong (có thể trên cạnh, đỉnh) của 1 hình vuông cạnh 1 ABCD. Cần chứng minh có 1 lưới mà không mắt nào nằm trên vết mực.
Vì diện tích của vết mực nhỏ hơn 1 suy ra có 1 điểm E không thuộc vết mực nhưng nằm trong lòng của hình vuông ABCD (không nằm trên cạnh). Khi đó lấy điểm này làm đỉnh một lưới mới mà lưới này là dịch chuyển tịnh tiến của lưới cũ (chứa ABCD) . Khi đó vì vết mực nằm hoàn toàn trong hình vuông cũ mà các đỉnh trừ điểm E đều nằm ngoài hình vuông ABCD nên không thể nằm trên vết mực. Mà E cũng không nằm trên vết mực nên cả lưới không có nút nào dính mực.
Bài này chẳng hiểu dùng chỗ nào là tổ hợp nhỉ?