TOÁN TỔ HỢP. VOTE 5*

dangiaothong viết:''
Em thấy cái giả thiết vàng của bác chưa ổn. Bác có thể nói kĩ hơn không?''
=================================
Ta vẽ một mạng lưới giống như tấm lưới lên tấm giấy (diện tích 1 ô là 1cm2), một ô vuông lớn chứa n ô vuông nhỏ (n là số chính phương), như vậy khi ta dịch tấm lưới, sẽ có n khả năng hay n vị trí của tấm lưới. Nếu chỉ có 1 mắt lưới chạm ô vuông nhỏ có mực thì tổng số khả năng chạm vết mực sẽ là m. Nếu 2 mắt lưới cùng chạm thì số khả năng sẽ là m-1 trường hợp. Cứ như vậy, nếu có a mắt lưới chạm cùng lúc thì số khả năng chỉ còn m-a+1 v.v... Như vậy nếu ta giả thiết các mắt lưới không cùng chạm vết mực thì xác suất để ít nhất có một mắt lưới chạm sẽ là lớn nhất và bằng m/n vẫn nhỏ hơn 1. Do vậy các trường hợp có nhiều nút mạng chạm mực cùng 1 lúc sẽ có xác suất còn nhỏ hơn nữa và càng phải thoả mãn yêu cầu của đầu bài.
Chú ý rằng khi dịch chuyển mạng, mỗi một nút mạng lưới đều có cùng một toạ độ ở ô mạng của riêng mình ( ô mầu xanh) .

1.Có lẽ không nên dùng từ xác suất ở đây.
2. Bạn cần chứng minh tồn tại n đủ lớn để m<n. Vì diện tích của vết mực không phải là m lần diện tích 1 ô vuông nhỏ.

=================================================
1. Tôi cũng chưa biết dùng từ nào khác. Dùng từ xác suất là bởi nếu ta ngẫu nhiên đặt tấm lưới xuống thì số vị trí có thể có là n, trong khi số khả năng chạm mực tối đa là m.
2. Trong phần biện luận ở trên, tôi có nhắc tới là khi n tiến tới vô cùng thì mới thoả mãn tính liên tục của vết mực. Khi n tăng thì m cũng tăng (vì mỗi ô nhỏ sẽ bé đi), nhưng m luôn nhỏ hơn n và n ô vuông nhỏ luôn có tổng dtích = 1cm2.

Lâu lắm không ghé vào box này, chẳng thấy các tiên sinh đâu cả, chẳng thấy bài nào thật hay......chan thật.
Bài này cũng có vẻ khá hay, 5* cũng đáng.Nếu 1 ngày nữa nữa các bạn đều vẫn nhường thì tôi đành xin vậy.
Có vẻ hướng giải của các ban không hợp lý rồi.Với một bài tổ hợp thì cm bằng phản chứng thường không là ý hay, các bạn hãy khái quát hoá bài toán này lên thử xem.

Royalgia vote 5* cho tôi luôn nhé
Trước hết tôi thêm vào bài toán cái ý là : vết mực có thể là liên tục hoặc không liên tục, tức là có thể gồm nhiều vết nhỏ , miễn là tổng diện tích bao phủ của nó nhỏ hơn 1.
Các bạn chú ý rằng với 1 tấm lưới ô vuông thì mỗi ô vuông có thể được đại diện bằng 1 điểm chứ không phải là 4 đỉnh góc vuông.Thật vậy, nếu chọn 1 điểm nằm trong 1 ô vuông nào đó rồi lấy các điểm tương ứng với nó trong các ô vuông còn lại thì tập các điểm vừa lấy tương ứng với tập các nút ô vuông mới.
Lời giải cụ thể :
Giả sử (các) vết mực đó được trải gọn trên tất cả n ô vuông khác nhau.Bằng phép di chuyển không làm đổi hướng của các ô vuông để đem xếp chồng chúng len nhau ~~>>rõ ràng vết mực không phủ kín ô vuông đó vì tổng diện tích của chúng nhỏ hơn dt 1 ô vuông.Chọn 1 điểm không bị mực phủ làm 1 nút mới rồi lấy các điểm tương ứng từ các ô vuông cũ tạo thành tấm lưới mới thoả mãn yêu cầu.
Các bạn hãy tưởng tượng thế này : Khi lấy 1 điểm d1 của ô vuông v1 thì sẽ có tương ứng các điểm d2,d3...dn của các ô vuông khác.Khi cho d1 chạy trong ô vuông v1 thì sẽ tồn tại ít nhất 1 điểm d1 để các d2,d2...dn tương ứng sao cho không có điểm nào dính mực vì diện tích ô vuông luôn lớn hơn tổng diện tích các vết mực.Đó là ý tưởng cho lời giải của tôi.
Cám ơn Royalgia đã gửi đề bài.Cám ơn các ban.

Lời giải này được không: Vẽ một mạng lưới ô vuông bất kì cạnh bằng 1. Tưởng tượng ta cắt thành các ô cạnh 1 theo lưới ô vừa vẽ rồi xếp chồng lên nhau từ trái qua phải rồi xuống dưới cũng từ trái qua phải. Xét hình chiếu của các vết mực lên ô đầu tiên,thì S của đám mực<1 nên tồn tại 1 điểm trắng trên ô đó. Lấy 1 cái kim chọc vào đấy xuyên qua tất cả các tờ giấy rồi xếp lại như cũ. Khi đó mạng lưới có các đỉnh là các lỗ khi xâu kim thoả mãn bài toán.
Hay không?

Lời giải như thế này có ở trang trước rồi.

Từ lời giải của bạn lxk, tôi diễn giải theo cách khác một chút.
Vẽ một mạng ô vuông trên tờ giấy với các cạnh = 1cm. Giả sử cắt vụn toàn bộ tờ giấy thành các ô vuông đó, sau đó xếp chồng các ô vuông lên nhau thành 1 ô duy nhất. Vì diện tích của toàn bộ vết mực là S < 1cm2, nên khi xếp chồng lên nhau, tổng các vết mực trên 1 ô duy nhất đó phải <=S (do có nhiều điểm trùng nhau) , và tất nhiên nhỏ hơn 1cm2. Do vậy trên ô duy nhất đó luôn tồn tại ít nhất một điểm không dính mực. Đặt mạng lưới sao cho một mắt lưới chạm điểm ''sạch'' đó, đương nhiên toàn bộ các mắt khác sẽ không chạm một vết mực nào.
Cái này có vẻ giống toán tổ hợp hơn và không phải động đến các điểm rời rạc.

Em chào các bác.
Rất đa tạ các bác tham gia nhiệt tình. Các bác thứ lỗi cho em vì đã đem con bỏ chợ đã lâu. Cuối năm, bận quá.
Như vậy là vấn đề đã ngã ngũ. Em mạn phép các bác tổng hợp vấn đề.
Theo em 3 bác KTY, Ca_khong_an..., lxk đều đã giả đúng. Bác lxk đưa ra lời giải có vẻ dễ hiểu nhất tuy nhiên bản chất không khác gì 2 bác kia.
Bác Haidelft đưa ra ý tưởng rời rạc rất hay nhưng chưa giải quyết vấn đề tới cùng. Em cũng chưa biết bác dùng giới hạn ở đây như thế nào. Hơn nữa bác lập luận về xác suất em chưa ưng lắm. Xác suất để a điểm chạm mực cùng lúc không thể là ( m-a+1)/n vì đây phải là xác suất có đk. ( Các mút lưới có ràng buộc về khoảng cách với nhau.).
Tóm lại cả 4 bác đều xứng đáng uống vốt ca. Nhưng em chỉ có 1 chai. Vậy em xin vote bác KTY vì có đáp án sớm nhất.
Đưa phật phải đưa đến nơi. Các bác giúp em phần tổng quát hóa được không ạ.
Em cám ơn các bác nhiều.
Năm mới năm me, chúc các bác vui, khỏe có ích.
TB : em mới lượm được bài tô màu bản đồ. Hẹn các bác sau.

khó quá