Tổng hợp kiến thức toán học vui

Thầy giáo 'hot boy' Lại Tiến Minh mách nước cách học giỏi Toán
Làm thế nào để học tốt môn Toán hơn nữa đối với những bạn cho rằng môn Toán là khó học? Hãy cùng lắng nghe ý kiến tư vấn của thầy Minh nhé!
Học Toán khó – vì sao?
Toán học phổ thông được chia làm 2 phần: Đại số và Hình học, mỗi phần kiến thức đều có những đặc thù riêng, do đó teen cần linh hoạt trong phương pháp học tập mới có thể nắm được cách học tốt cả 2 phần riêng biệt của bộ môn Toán.
Phần Đại số thường học sinh yêu thích hơn do dễ làm khi thuộc công thức. Tuy nhiên, có khó khăn là các dạng bài tập rất đa dạng, biến hóa dẫn tới học sinh phải nhớ nhiều, làm nhiều dạng bài tập mới giỏi được.
Phần Hình học tuy có ít dạng bài tập hơn nhưng lại đòi hỏi học sinh phải tưởng tượng tốt phải có tư duy logic, điều đó khiến nhiều học sinh cảm thấy môn Hình không gian cực “khó nhằn” mà bỏ luôn không học.
Thầy Lại Tiến Minh chỉ ra rằng: Lý do chính khiến học sinh học kém môn Toán là lười học dẫn tới bị hổng kiến thức, không hiểu bản chất dẫn tới không hứng thú với môn học. Toán là môn khoa học có tính kế thừa, những kiến thức từ những lớp dưới sẽ làm nền tảng và bổ trợ cho những lớp cao hơn. Do đó nhiều teen lười học dẫn đến học yếu Toán từ cấp THCS, bị hổng kiến thức sẽ rất khó “xoay sở” khi tiếp cận với Toán cấp THPT. Toán cũng không thể học được bằng cách học gạo, học thuộc đáp án, cách giải rồi áp dụng bởi mỗi bài Toán sẽ có những cách làm chẳng hề giống nhau.
Ngoài ra, do chương trình học phổ thông hiện nay quá nặng khiến cho nhiều học sinh tư duy trung bình khó khăn trong việc theo kịp kiến thức trong sách. Một học sinh phổ thông phải nạp một khối lượng kiến thức Toán cực lớn, đa dạng và dàn trải.
Gia sư Ngoại Thương rất vui được chia sẻ kiến thức toán học với các bạn

Thầy giáo Lại Tiến Minh
Nguyên nhân nữa khiến cho học sinh học kém môn Toán là do không có hứng thú với môn học dẫn tới lười học, để khắc phục nguyên nhân này thì các thầy cô giáo, những người tạo cảm hứng cho các em học sinh, đóng vai trò rất quan trọng.
http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Phương pháp học Toán hiệu quả:
Học lý thuyết rất quan trọng
Theo thầy Minh, nhiều bạn học sinh thường cho rằng môn Toán chỉ cần học bài tập, phần lý thuyết có thể bỏ qua, không quan tâm. Điều này hết sức sai lầm, vì có hiểu kĩ lý thuyết mới có thể hiểu được bản chất của vấn đề, từ đó mới vận dụng lý thuyết vào các bài tập cụ thể để làm bài mới hiệu quả. Trước mỗi bài học mới nên đọc lại phần lý thuyết bài cũ để nhớ lại các khái niệm và phương pháp đã học giúp hiểu được tốt hơn các vấn đề đặt ra trong bài mới.
Với môn học có khá nhiều công thức khó nhớ như môn Toán, học sinh nên viết các công thức hoặc các mẫu bài toán thường gặp trong mỗi bài học vào một quyển sổ nhỏ từ đó giúp ta dễ nhớ và hệ thống lại được các công thức và rất tiện lợi khi dung làm bài tập.

http://giasu99.com
Bí kíp làm bài tập
Khi làm bài tập, nên phân chia từng dạng bài tập và phương pháp giải chi tiết cho từng dạng. Với mỗi dạng bài tập không cần thiết phải làm nhiều, chỉ cần làm từ 1 đến 2 bài để hiểu được kỹ lý thuyết và phương pháp giải. Việc kết nối bài tập với lý thuyết sẽ giúp hiểu sâu sắc thêm vấn đề, giúp ghi nhớ tốt hơn.
Để làm tốt một bài Toán cần đọc kỹ đề bài, kết nối các giả thiết trong đề bài với lý thuyết đã học, xác định những đại lượng công việc cần làm. Sau mỗi bài toán không quên kết luận để trả lời các câu hỏi của đề bài, hỏi gì trả lời nấy.
Về cách trình bày thì nên dựa vào một bài mẫu do thầy cô đã chữa hoặc trong sách để học trình bày. Với mỗi dạng bài chỉ cần làm và trình bày chuẩn 1 đến 2 bài.
Gạch ra những điều cần lưu ý
Sau mỗi một bài toán cần rút ra những điểm lưu ý cho riêng mình. Những lưu ý đó có thể là các kỹ thuật đặc biệt của bài toán hoặc là những công thức hoặc các lỗi bản thân hay mắc phải. Có thể viết thành một chú ý hoặc viết vào tờ giấy ghi nhớ dán vào bài tập hoặc dạng bài vừa làm.
Học trong SGK là chưa đủ
Kiến thức trong sách giáo khoa chỉ là những kiến thức nền tảng, cơ bản của môn học. Muốn học giỏi cần tập thói quen tự đọc sách giáo khoa và tham khảo để biết thêm về những kiến thức nâng cao, các dạng bài tập mở rộng từ đó có thể rút ra phương pháp học tập và cách thức làm bài cho riêng mình.
Gia sư Toán đại học Ngoại Thương chúc các em học tập tốt.

Làm thế nào để say mê học toán​

Nếu teen mình đang "lo lo là" vì phải hoàn thành cả đống bài tập đầy số, rồi thì cuống quýt ôn luyện đón kỳ kiểm tra Toán sắp tới, thì những bí kíp sau sẽ tuyệt lắm đấy!

Niều đam mê học Toán và chinh phục những con số rắc rối dạo này đang dâng cao trong cộng đồng teen và tween Việt, nhất là khi các bạn có chất xúc tác là tin vui về giáo sư Ngô Bảo Châu giành được giải thưởng lớn của Toán học thế giới.
http://giasu99.com/
Nhưng đam mê là một chuyện, làm sao để biến niềm đam mê ấy thành những kết quả ngọt ngào trong học tập thì lại khác, bạn cần phải có những bí kíp luyện rồng phù hợp với mỗi người. Gọi là bí kíp cho nó huyền bí chứ loanh quanh để học Toán giỏi thì các mẹo mực học Toán tốt bạn cần thế này này:
Gia sư Toán đại học Ngoại Thương rất vui được chia sẻ những kiến thức thú vị với các em học sinh.
Góc học tập lý tưởng

Đầu tiên, hãy biến học Toán thành niềm vui bằng việc thiết kế một không gian lý tưởng. Điều này chí ít sẽ giúp các teen cảm thấy hứng khởi trước khi mở sách ra. Đừng quên chọn màu, thiết kế, làm mới hoặc sáng tạo ra những đồ đựng bút từ những vật liệu đang xung quanh mình nhé… Tuy nhiên, góc học tập của các ấy không nên dùng màu quá đậm, sẽ gây mất tập trung đấy! Nhưng nhớ là màu quá nhạt nhòa lại làm bạn dễ buồn chán. Giải pháp là chọn một màu tươi sáng tự nhiên kết hợp với một màu nhẹ dịu hơn, ví dụ: cam và trắng, xanh lá và kem.

Bắt đầu với 5 phút thử thách

Những phút đầu tiên bao giờ cũng là thời khắc quan trọng nhất: một khi bạn vượt qua, việc học toán cũng sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn. Bất cứ khi nào các teen cảm thấy không muốn học, hãy chỉ huy bản thân rằng phải học 5 phút thật tử tế, chỉ 5 phút thôi. Tự thuyết phục là sau 5 phút học bạn có thể dừng lại. Điều này sẽ khiến bạn thấy bớt uể oải và hưng phấn hơn để học đấy. Thông thường sau 5 phút này, các teen có khuynh hướng bắt nhịp với việc học và thật tự nhiên là các ấy sẽ tiếp tục học lâu hơn. Chìa khóa ở đây chính là đảm bảo rằng trong 5 phút đầu tiên, bạn sẽ học với 100% độ tập trung.

Ngừng và bắt đầu với phần học thú vị nhất

Khi phải dừng học để nghỉ giải lao hay làm việc khác, bí quyết là các ấy chú ý dừng ở nội dung hấp dẫn hoặc dễ dàng chobản thân. Khi quay trở lại bàn học, các ấy sẽ tiếp tục ở chính đoạn thú vị ấy và việc này khiến cho các teen dễ dàng học lại.
http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Học bằng phương pháp Trực quan sinh động

Trong thời buổi của công nghệ, việc học của các teen nên tận dụng yếu tố công nghệ, để tăng thêm phần hiệu quả và hứng thú trong học tập.

Bạn Đậu Hải Đăng, chủ nhân của Huy chương Vàng Violympic Toán (IMO 53) chia sẻ : “Hồi lớp 9 mình cũng thường tham gia thi luyện online ở trang website tự luyện có uy tín Violympic . Theo mình, việc học bằng trực quan sinh động rất hay, đặc biệt sẽ giúp cho môn học toán thêm thú vị. Tại đây, các bài toán được biến hóa kỳ thú bằng những trò chơi ngộ nghĩnh như đỉnh núi trí tuệ, cóc vàng tài ba, khỉ con thông thái…sẽ giúp các teen chúng mình bị cuốn hút vào quá trình chinh phục môn Toán.”

Hiện Hải Đăng là học sinh lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội và sắp tới rất có thể bạn sẽ ra nước ngoài du học đấy!

Theo chủ nhân của chiếc Huy chương Vàng này, các teen nên bắt đầu học môn mình yêu thích trước, sau đó mới đến môn Toán khó “nhằn” bởi điều này sẽ tạo hứng cho các teen đối mặt với những bài tập đầy rẫy những con số. Tuy nhiên, nhớ đừng học quá muộn nhé để đảm bảo sức khỏe cho ngày mai lên lớp nhé!

Học đúng lúc

Nên lập thời gian biểu cho riêng mình. Với lịch học được lập trình hợp lý , các ấy sẽ có khoảng thời gian vừa đủ cho việc học, chơi và nghỉ ngơi. Và chính thời gian biểu ấy sẽ tạo áp lực học tập cho các teen, nhắc nhở rằng thời gian không có nhiều. Do đó các ấy nhớ tuân thủ thời gian biểu một cách nghiêm khắc và học tập trung rồi xả hơi thoải mái còn hơn vừa học vừa chơi.

Gia sư Ngoại Thương chúc các teen luôn hăng say học toán nhé

Mười bài học cho những người làm toán?​

Gian-Carlo Rota là một trong những nhà toán học Mỹ hàng đầu hiện nay. Ông là giáo sư về toán học ứng dụng và triết học ở Học viện công nghệ Massachussett (MIT) và là trưởng ban biên tập của tạp chí Advances in Mathematics, một trong những tạp chí danh giá nhất của nền toán học thế giới. Vừa qua ông đã trình bày những kinh nghiệm của ông về "nghề toán" trong một bài phát biểu với tên gọi: Mười bài học tôi ước đã được người ta dạy cho biết trước đây (Ten lessons I wish I have been taught). Bài phát biểu của Rota đã gây ra một cuộc tranh luận sôi nổi trong những nhà toán học Mỹ vì nhiều bài học k
1. Giảng bài
Bốn yêu cầu sau cho một bài giảng hay không phải là hiển nhiên đối với mọi người nếu tôi nghĩ đến các bài giảng tôi đã được nghe 40 năm qua.
a. Mỗi một bài giảng chỉ nên có một chủ đề.
Nhà triết học Đức Hegel từng nói rằng một nhà tiết học hay dùng từ "và" không phải là một nhà triết học giỏi. Tôi cho rằng ông ta nói đúng, ít nhất là đối với các bài giảng. Mỗi một bài giảng chỉ nên nêu lên một chủ đề và nhắc lại nó liên tục giống như một bài hát có nhiều lời. Người nghe cũng giống như một đàn bò chuyển động một cách chậm chạp theo hướng được dẫn đi. Nếu ta chỉ nêu một chủ đề thì ta có cơ may hướng được người nghe theo đúng hướng. Nếu ta dẫn theo nhiều hướng thì đàn bò sẽ tán loạn trên đồng. Người nghe sẽ mất hứng thú và mọi người phải quay trở lại chỗ họ đã dừng nghe để có thể tiếp tục theo dõi bài giảng.
b. Không bao giờ giảng quá giờ.
Giảng quá giờ là một lỗi không thể tha thứ được. Sau 50 phút (một vi thế kỷ như von Neumann thường nói) thì mọi người sẽ không còn quan tâm đến bài giảng ngay cả khi ta đang chứng minh giả thuyết Riemann. Một phút quá giờ giảng sẽ làm hỏng cả bài giảng hay nhất.
c. Liên hệ đến người nghe.
Khi vào phòng ta phải để ý xem có ai trong số người nghe mà công trình của người đó có liên quan đến bài giảng. Hãy ngay lập tức bố trí lại bài giảng sao cho công trình người ấy sẽ được đề cập đến. Bằng cách này, ta có ít nhất một người chăm chú theo dõi bài giảng và thêm một người bạn. Tất cả mọi người đến nghe bài giảng của ta đều hy vọng một cách thầm kín là công trình của họ sẽ được nhắc đến.
d. Đem đến cho người nghe một điều gì đó họ có thể mang về nhà.
Đây là một lời khuyên của Struik. Không dễ gì thực hiện được lời khuyên này. Ta có thể dễ dàng nêu lên mặt gì của một bài giảng sẽ được người nghe nhớ mãi và những cái này không phải là cái mà người giảng bài trông đợi. Tôi thường gặp những cựu sinh viên MIT đã từng nghe các bài giảng của tôi. Phần lớn họ thú nhận rằng đã quên nội dung bài giảng và tất cả những kiến thức toán học mà tôi nghĩ là đã truyền đạt được cho họ. Tuy nhiên, họ sẽ vui vẻ nhắc lại những câu đùa tếu, những mẩu chuyện tiếu lâm, những nhận xét bên lề hay một lỗi nào đấy của tôi.
2. Kỹ thuật bên bảng đen
a. Hãy xoá sạch các vết phấn cũ trên bảng.
Một điều rất quan trọng là phải xoá hết các vết phấn còn sót lại sau khi lau bảng. Bằng cách bắt đầu với một bảng đen không vết phấn ta đã thầm đưa ra cảm tưởng cho người nghe là bài giảng cũng không có tỳ vết.
b. Bắt đầu viết từ góc trên bên trái của bảng.
Những gì ta viết trên bảng phải tương ứng với những gì ta muốn một người nghe chăm chú viết vào vở của họ. Nên viết chậm với chữ to và không viết tắt. Những người nghe có ghi chép đã có thiện ý với ta và ta nên giúp họ ghi chép. Khi sử dụng đèn chiếu, ta nên thêm thời gian giải thích các trang được chiếu bằng cách đưa ra những lời bình luận không quan trọng hay nhắc lại các ý để người nghe có thời gian chép lại trang được chiếu. Tất cả chúng ta đều rơi vào ảo tưởng rằng người nghe sẽ có thời gian đọc bản sao các trang bài giảng ta đưa cho họ sau khi giảng bài. Đó chỉ là ước mong mà thôi.
3. Công bố một kết quả nhiều lần
Sau khi bảo vệ luận án tôi nghiên cứu giải tích hàm một số năm. Tôi mua Tuyển tập công trình của F. Riesz ngay khi quyển sách to, dày và nặng này được xuất bản. Nhưng khi bắt đầu lướt xem tôi không thể không nhận thấy các trang sách rất dày, gần như là bìa các tông. Thật lạ lùng, các bài báo của Riesz đều được in lại với chữ to. Tôi thích các bài báo của Riesz vì chúng đều được viết rất đẹp và gây cho người đọc một cảm giác dứt khoát.
Khi tôi đọc kỹ cuốn Tuyển tập công trình của Riesz thì một cảm giác khác nổi lên. Những người biên tập đã tận dụng in hết mọi thứ nhỏ nhặt mà Riesz đã công bố. Rõ ràng là những công trình của Riesz không nhiều. Ngạc nhiên hơn là những công trình này được xuất bản nhiều lần. Riesz thường công bố một bản thảo còn thô về một ý tưởng trong một tạp chí không tên tuổi của Hungary. Một vài năm sau đó ông gửi đăng một loạt các thông báo trong tờComptes Rendus của Viện hàn lâm Pháp với ý tưởng đó được chi tiết hoá thêm. Một vài năm nữa trôi qua và ông sẽ đăng bài báo cuối cùng bằng tiếng Pháp hoặc tiếng Anh.
Koranyi, người đã theo học Riesz, nói với tôi rằng Riesz thường dạy cùng một chủ đề năm này qua năm khác trong khi suy ngẫm về việc viết bài báo cuối cùng. Không đáng ngạc nhiên khi bài báo này rất hoàn hảo.
Ví dụ của Riesz xứng đáng được noi theo. Giới toán học hiện nay bị chia ra làm nhiều nhóm nhỏ, mỗi một nhóm có những thói quen, những ký hiệu và những khái niệm riêng. Vì vậy cần thiết phải trình bày một kết quả dưới nhiều dạng khác nhau, mỗi một dạng có thể sử dụng được cho một nhóm đặc biệt. Nếu không thì cái giá phải trả sẽ là việc một người nào đó sẽ phát hiện lại kết quả của ta với một ngôn ngữ và những ký hiệu khác và họ sẽ có lý khi khẳng định rằng kết quả đấy là của họ.
4. Anh chắc sẽ được nhớ đến bởi các bài báo tổng quan của anh
Chúng ta hãy xét hai ví dụ, bắt đầu với Hilbert. Khi nhắc đến Hilbert, chúng ta nghĩ đến một số định lý nổi tiếng của ông như Định lý cơ sở của Hilbert. Nhưng tên của Hilbert thường được nhớ đến bởi công trình Tổng quan số học(Zahlbericht) hay cuốn sách Cơ sở hình học hay giáo trình của ông về những phương trình tích phân.
Tên gọi "không gian Hilbert" được đưa ra bởi Stone và von Neumann để ghi nhận giáo trình của Hilbert về những phương trình tích phân mà trong đó từ "phổ" được định nghĩa lần đầu tiên, ít nhất là 20 năm trước khi môn Cơ học lượng tử ra đời. Giáo trình này gần như là một bài tổng quan được dựa theo các công trình của Hellinger và nhiều nhà toán học khác mà tên họ ngày nay đã bị lãng quên.
Tương tự, cuốn Cơ sở hình học là cuốn đã làm cho tên tuổi Hilbert quen thuộc với mọi người làm toán không chứa một công trình gốc nào của ông và đã gặt hái kết quả những công trình của nhiều nhà hình học như Kohn, Schur,Wiener (không phải là Schur và Wiener mà chúng ta đã từng nghe tên), Pasch, Pieri và nhiều nhà toán học Italia.
Cũng như thế, cuốn Tổng quan số học, một công trình cơ sở đã cách mạng hoá môn lý thuyết số, thực ra là một bài báo tổng quan mà tờ báo Bulletin của Hội toán học Đức đặt cho Hilbert viết.
William Feller là một ví dụ khác. Feller được nhớ đến như là tác giả của cuốn sách hay nhất về xác xuất. Rất ít người làm xác xuất hiện nay có thể nêu lên tên một công trình nghiên cứu của Feller. Phần lớn mọi người còn không biết rằng Feller vốn nghiên cứu hình học lồi.
Hãy cho phép tôi đi lạc đề với một hồi tưởng cá nhân. Thỉnh thoảng tôi có
công bố trong một nhánh triết học được gọi là khoa học hiện tượng (phenomenology). Sau khi công bố bài báo đầu tiên trong môn này, tôi rất bực mình khi người ta nói với tôi tại một hội nghị của Hội khoa học hiện tượng và triết học tồn tại (existential philosophy) một cách úp mở rằng mọi điều tôi viết trong bài báo đều đã được biết và tôi bị buộc phải xem lại tiêu chuẩn công bố của mình trong môn khoa học hiện tượng.
Một chuyện nữa là những công trình cơ sở của môn khoa học hiện tượng được viết bằng ngôn ngữ triết học Đức rất nặng nề. Theo truyền thống thì không có ví dụ minh họa về những điều được bàn. Một hôm tôi quyết định công bố với một chút nghi ngại một bài báo thật ra là một bài viết lại một vài đoạn từ một cuốn sách của Husserl cộng thêm một vài ví dụ. Tại hội nghị tiếp theo của Hội khoa học hiện tượng và triết học tồn tại, tôi đang chờ đợi điều xấu nhất có thể xẩy ra thì một nhà khoa học hiện tượng hàng đầu xông đến tôi với một nụ cười trên môi.
Ông ta ca ngợi bài báo của tôi hết lời và khuyến khích tôi phát triển tiếp những ý tưởng mới mẻ và độc đáo của bài báo đó.
5. Mỗi một nhà toán học chỉ có một vài mẹo
Cách đây đã lâu một nhà số học già nổi tiếng đã đưa ra một số nhận xét chê bai các công trình của Erdos. Tôi khâm phục sự đóng góp của Erdos cho toán học và cảm thấy bực mình khi nhà toán học già đó nói một cách khẳng định rằng tất cả các công trình của Erdos có thể rút gọn về một vài mẹo mà Erdos đã luôn dựa vào chúng trong các chứng minh. Điều mà nhà số học đó không nhận thấy là những nhà toán học khác, kể cả những người giỏi nhất, cũng dựa vào một vài mẹo mà họ sử dụng lần này đến lần khác. Hãy xem Hilbert. Quyển hai của Tuyển tập các công trình của Hilbert chứa những bài báo của của Hilbert về lý thuyết bất biến. Tôi quyết tâm đọc kỹ một số bài báo này. Thật buồn là một số kết quả đẹp của Hilbert đã bị rơi vào quên lãng. Nhưng khi đọc những chứng minh củaHilbert cho một số định lý sâu sắc trong lý thuyết bất biến, tôi ngạc nhiên thấy rằng những chứng minh này đều sử dụng một số mẹo giống nhau. Như vậy Hilbert cũng chỉ có một vài mẹo!
6. Đừng lo về những lỗi
Một lần nữa tôi lại bắt đầu với Hilbert. Khi những người Đức định xuất bản Tuyển tập công trình của Hilbert và tặng ông một bộ nhân dịp một ngày sinh nhật sau này của ông thì họ nhận thấy rằng họ không thể công bố những bài báo dưới dạng ban đầu vì chúng chứa quá nhiều lỗi, trong đó có những lỗi rất trầm trọng. Vì vậy họ đã thuê nhà toán học (nữ) đang thất nghiệp OlgaTaussky-Todd xem lại các bài báo của Hilbert và chữa tất cả các lỗi. Olga đã làm việc này trong ba năm và mọi lỗi đều đã sửa được mà không cần thay đổi lắm nội dung các định lý. Chỉ có một ngoại lệ là một bài báo được Hilbert viết khi ông đã có tuổi là không thể sửa nổi. Đó là một chứng minh cho giả thuyết Continuum
được công bố trong tờ Mathematische Annalen đầu những năm ba mươi. Cuối cùng thì Hilbert đã được trao cho một bản in Tuyển tập công trình mới tinh nhân ngày sinh nhật. Hilbert đã giở ra xem kỹ lưỡng và không phát hiện ra điều gì. ...
Có hai loại lỗi. Loại lỗi chí tử sẽ phá tan toàn bộ lý thuyết, còn loại lỗi bất trắc sẽ có ích khi kiểm tra tính đúng đắn của một lý thuyết.
7. Sử dụng phương pháp của Feynman
Feynman thích đưa ra lời khuyên sau đây về việc làm thế nào để trở thành một thiên tài. Anh cần phải giữ thường xuyên trong đầu một số vấn đề anh thích mặc dù phần lớn thời gian chúng nằm yên ở đấy. Mỗi một khi anh nghe hay đọc thấy một mẹo hay một kết quả mới thì anh hãy thử xem nó có giúp gì cho từng vấn đề của anh không. Thể nào cũng có lúc anh gặp may và mọi người sẽ nói "Làm thế nào anh ta đã giải quyết được vấn đề đó? Chắc anh ta là một thiên tài!"
8. Hào phóng khi trích dẫn
Tôi luôn luôn phật lòng khi đọc một bài báo mà tôi cảm thấy rằng tôi không được trích dẫn như phải có. Có thể khẳng định rằng điều này cũng đúng với mọi người. Một hôm tôi đã làm thử một thí nghiệm. Sau khi viết một bài báo tương đối dài, tôi bắt tay làm một bản nháp toàn bộ các trích dẫn. Khi đó tôi bỗng quyết định trích dẫn một số bài báo không liên quan tí gì đến nội dung bài báo của tôi để xem
điều gì sẽ xảy ra.
Thật bất ngờ tôi nhận được thư của hai tác giả mà các bài báo của họ không liên quan gì với bài báo của tôi. Cả hai thư đều được viết với một giọng xúc động. Cả hai tác giả đều chúc mừng tôi là người đầu tiên đã công nhận sự đóng góp của họ trong lĩnh vực đó.
9. Viết lời giới thiệu nhiều thông tin
Ngày nay ít người đọc một bài báo từ đầu đến cuối. Nếu ta muốn người khác đọc bài báo của ta thì ta phải cung cấp cho họ những động cơ thuyết phục. Một lời giới thiệu dài và lan man tóm tắt lịch sử vấn đề, trích dẫn đầy đủ sự đóng góp của mọi người và mô tả lôi cuốn nội dung bài báo sẽ góp phần thu hút một số người đọc.
Là một biên tập viên của tạp chí Advances in Mathematics tôi thường gửi các bài báo lại cho tác giả yêu cầu họ viết dài hơn. Một lần tôi nhận được thư trả lời từ một tác giả nói rằng cũng bài báo đó đã bị tạp chí Annals of Mathematics từ chối vì lời giới thiệu quá dài.
10. Hãy chuẩn bị cho tuổi già
Ông bạn Ulam đã quá cố của tôi thường nhận xét rằng cuộc sống của ông bị chia rõ rệt làm hai phần. ở phần đầu ông luôn luôn là người trẻ nhất trong nhóm, còn ở phần thứ hai ông luôn luôn là người già nhất mà không có giai đoạn chuyển tiếp.
Bây giờ thì tôi thấy Ulam đã nhận xét rất đúng. Tuổi già hình như không đến dần dần và ta chấp nhận nó một cách khó khăn. Điều này phụ thuộc vào một nhận thức cơ bản và ta cần có thời gian làm quen với nó. Ta phải hiểu rằng đến một tuổi nào đó ta không còn được coi là một cá nhân nữa. Ta sẽ trở thành một thể chế (institution), và ta sẽ được đối xử như người ta đối xử với một thể chế. Họ mong đợi ta sử sự như một đồ vật cổ hay như một kỳ quan kiến trúc.
Việc ta có còn viết bài hay không không còn quan trọng nữa. Nếu bài báo của ta không tốt, thì họ sẽ nói "Anh mong đợi gì nữa? Ông ta đã chai sạn mất rồi!'". Còn nếu một bài báo nào đó của ta trở nên thú vị thì họ sẽ nói "Anh mong đợi gì khác? Ông ta cả cuộc đời đã nghiên cứu cái này rồi!" Phản ứng tế nhị duy nhất là nên vui vẻ đóng vai trò mới của anh như là một

Hãy thử giải các bài toán cổ sau đây, bạn sẽ thấy phụ nữ Việt Nam rất giỏi toán, đặc biệt là khi đi chợ!
Đi chợ phiên
Em đi chợ phiên
Cho gởi một tiền
Mua cam cùng quýt
Món ít, món nhiều
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái…

http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Chợ Tết

Một quan tiền tốt mang đi,
Nàng mua những gì mà tính chẳng ra?
Thoạt tiên mua ba tiền gà,
Tiền rưỡi gạo nếp với ba đồng trầụ
Trở lại mua sáu đồng cau,
Tiền rưỡi miếng thịt, giá rau mười đồng.
Có gì mà tính chẳng thông.
Tiền rưỡi gạo tẻ, sáu đồng trà tươị
Ba mươi đồng rượu, chàng ơi,
Ba mươi đồng mật, hai mươi đồng vàng.
Hai chén nước mắm rõ ràng,
Hai bảy mười bốn kẻo chàng hồ nghị
Hăm mốt đồng bột nấu chè,
Mười đồng nải chuối, chẵn thì một quan!
http://giasu99.com

Toán là môn học cơ bản và quan trọng trong mọi cấp lớp, thế nhưng không phải trẻ nào cũng thấy hứng thú với môn học này. Trong một cuộc phỏng vấn trực tuyến gần đây, các chuyên gia đã thảo luận về vấn đề nói trên và tư vấn cho phụ huynh cách tạo động lực học Toán hiệu quả cho trẻ.
Tham gia thảo luận trong buổi giao lưu trực tuyến có các chuyên gia giáo dục: GS.TSKH Đỗ Đức Thái, Phó trưởng khoa Toán - Tin Đại học Sư phạm Hà Nội, Ủy viên HĐKH của Viện nghiên cứu cao cấp về Toán của Việt Nam; ông Quách Tuấn Ngọc - Cục trưởng Cục Công nghệ thông tin (Bộ Giáo dục và Đào tạo) và ông Nguyễn Xuân Phong - Phó hiệu trưởng Đại học FPT.
http://giasu99.com/gia-su-toan
Theo GS.TSKH Đỗ Đức Thái, bản chất môn Toán không khô khan mà rất gần gũi với cuộc sống. Tuy nhiên, chính cách người lớn hướng trẻ đến với Toán làm trẻ “sợ” môn này. Khi trẻ không hiểu bài hoặc bị điểm thấp, điều trẻ nhận được chỉ là sự khiển trách và bị ép học nhiều hơn. Nhiều trẻ học chỉ mang tính đối phó, học mà không hiểu bản chất của bài Toán nên không cảm nhận được vẻ đẹp thật sự từ những con số.
GS.TSKH Đỗ Đức Thái chia sẻ thêm: “Bí quyết đầu tiên để Toán không phải là môn học tạo áp lực là hãy để trẻ học Toán như tự nhiên của chính các em”. Lứa tuổi tiểu học cần được vui chơi, hãy giúp trẻ cân bằng giữa học và chơi, tìm được niềm vui học tập thật sự.

http://giasu99.com
Có thể giúp trẻ học Toán hiệu quả hơn bằng việc luyện tập Toán cùng ứng dụng ViOlympic - Em giỏi Toán trên Samsung Smart TV

Buổi thảo luận cũng đưa ra nhiều dẫn chứng khoa học cho thấy não bộ của trẻ sẽ linh hoạt hơn lúc bình thường đến 68% khi vui vẻ và thoải mái, lúc đó, trẻ tiếp thu nhanh hơn. Để trẻ tìm được niềm vui trong việc học Toán và thấy môn học này gần gũi không khó. Bố mẹ có thể dạy Toán cho trẻ từ những sự vật xung quanh như đếm những viên kẹo, tính nhẩm số tiền thối khi mua hàng.
Theo ông Quách Tuấn Ngọc, một trong những nguyên lý giúp trẻ học hiệu quả hơn là các bài học nên được thiết kế theo phong cách “vừa học vừa chơi”. Để đáp ứng điều này, ứng dụng công nghệ vào việc học Toán chính là giảp pháp tối ưu. Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã triển khai một số hoạt động như: kết nối internet đến trường học; tạo nguồn bài giảng bằng công nghệ E-learning để học sinh tự học, tạo nguồn học liệu mở, thư viện phần mềm hữu ích trên mạng Edu.net; phối hợp cùng Đại học FPT tổ chức cuộc thi ViOlympic - Giải Toán qua Internet…
Nhằm tạo môi trường học tập trực tuyến tốt hơn tại Việt Nam, ông Nguyễn Xuân Phong cũng chia sẻ định hướng của FPT hiện nay là ứng dụng công nghệ thông tin để phục vụ các “công dân điện tử”, trong đó có học sinh. Đại học FPT còn phối hợp với Samsung cho ra đời ứng dụng ViOlympic - Em giỏi Toán trên Samsung Smart TV với nội dung mô phỏng từ cuộc thi Giải Toán qua Internet. Ứng dụng này giúp trẻ luyện Toán ở nhà với ngân hàng đề thi lên đến 10.000 câu hỏi bên cạnh tính năng thi giải Toán như trên website. ViOlympic - Em giỏi Toán mang đến cho trẻ cách học Toán mới mẻ bởi đề bài được “hô biến” thành nhiều game rất ngộ nghĩnh, khiến trẻ vừa được chơi, vừa rèn luyện được nhiều kỹ năng giải Toán.
http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Buổi GLTT đã khép lại thành công với những chia sẻ thiết thực. Công nghệ thông tin mang lại nhiều điều hữu ích cho việc học của trẻ, tuy nhiên, đó chỉ là công cụ hỗ trợ chứ không thể thay thế cách học truyền thống. Vì vậy, bố mẹ nên giúp con áp dụng công nghệ vào việc học Toán một cách hiệu quả, thông minh nhất.

Một ngày nọ, nhà toán học cảm thấy quá mệt mỏi với việc làm toán. Ông ta quyết định đi xin việc ở đội lính cứu hoả.
Đội trưởng đội cứu hoả ngắm nhà toán học và nói: “Anh trông có vẻ được. Tôi sẽ rất vui nhận anh vào làm việc nếu anh vượt qua được bài kiểm tra nhỏ này”.
Ông ta đưa nhà toán học tới nơi luyện tập của đội lính cứu hoả, nơi có đặt một chiếc thùng, một trụ cứu hoả và một vòi nước. Ông đặt câu hỏi:
- Nào! Bây giờ giả sử anh đang đi trên đường và nhìn thấy cái thùng đang cháy, anh sẽ xử lý thế nào?
http://giasu99.com/gia-su-toan
Nhà toán học trả lời ngay không chút do dự:
- Tôi sẽ lắp ngay ống nước vào trụ cứu hoả, bật nước và dập tắt ngọn lửa.
- Rất tốt. Bây giờ thì chỉ còn một câu hỏi nhỏ cho anh nữa thôi. Anh sẽ làm gì nếu đang đi dạo và thấy chiếc thùng không cháy.
Nhà toán học suy nghĩ một lát rồi đáp
- Tôi sẽ châm lửa cho nó!
http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Lính cứu hoả hét lên:
- Cái gì! Thật khủng khiếp! Tại sao anh có thể làm như vậy?
Nhà toán học thản nhiên:
- Có gì đâu. Làm như thế tôi sẽ đưa bài toán về bài toán vừa giải xong!
http://giasu99.com/

Tỉ lệ vàng​

“Hai phát hiện vĩ đại nhất của hình học, một là định lý Pythagore, và hai là tỷ lệ vàng – một thứ có thể so sánh là quý như vàng, còn thứ kia có giá trị như một viên ngọc quý” - Kepler
Ф và Bí mật của vẻ đẹp hài hòa
Tỷ lệ vàng khi được áp dụng trong nghệ thuật đều mang đến cho con người 1 cảm giác đẹp hài hòa và dễ chịu một cách khó giải thích. Do đó, nó được giảng trong các môn học như nghệ thuật, kiến trúc, mỹ thuật, trang trí, hội họa, điêu khắc, nhiếp ảnh, vv… như là một quy luật, tương hợp kỳ lạ với óc thẩm mỹ tự nhiên của con người.
Apple vận dụng tỷ lệ vàng trong các thiết kế của mình, ngay cả trang Twitter cũng vận dụng nó, các mẫu logo của các công ty hàng đầu thế giới cũng áp dụng tỉ lệ vàng. Tờ báo mà bạn đang đọc, màn hình vi tính, thẻ tín dụng, toà nhà cao ốc, cánh hoa, lá cây – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựa trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như Tạo hóa đang tiết lộ với chúng ta về bí mật của bản thiết kế mà Ngài đưa vào trong mỗi phần tử của vũ trụ.
http://giasu99.com/gia-su-ha-noi
Qua nhiều thế kỷ, cái đẹp tuyệt đối của nghệ thuật và óc thẩm mỹ của loài người chưa bao giờ chệch quá xa khỏi tỷ lệ kỳ bí này.
Vẻ đẹp của cơ thể con người cũng có liên quan tới số Ф. Thương của phép chia chiều cao từ đầu tới chân với khoảng cách từ rốn tới chân ≈ 1.618, thể hiện sự hài hoà cân đối của cơ thể. Chúng ta cũng có thể tìm ra kết quả tương tự trong tỷ lệ của chiều dài cái đầu với khoảng cách từ mắt tới cằm; hay tỷ lệ của khoảng cách từ mũi tới cằm trên khoảng cách từ môi tới cằm. Những tỷ lệ của gương mặt càng tiến gần tới tỷ lệ này thì gương mặt càng hài hoà cân đối. Thậm chí sở thích của chúng ta dường như cũng đã được định sẵn.
Trong một cuộc nghiên cứu nổi tiếng do Gustav Fechner tiến hành năm 1876, trong đó người ta được yêu cầu chọn một hình chữ nhật ưng ý nhất trong số một bộ các hình chữ nhật có kích thước từ một vuông đến gấp đôi. Kết quả là kích thước hình chữ nhật càng gần với hình chữ nhật vàng thì số người lựa chọn càng tăng lên. Ông còn nghiên cứu xa thêm bằng cách đo đạc tỉ lệ của các cửa sổ và cửa ra vào của các ngôi nhà, và phát hiện phần lớn chúng xấp xỉ tỉ lệ vàng. Điều đó cho thấy óc thẩm mỹ đã đưa nhân loại đến gần tỉ lệ vàng mà bản thân họ cũng không biết.

http://giasu99.com/
Tỉ lệ các cạnh của hình chữ nhật càng gần Ф thì càng bắt mắt.
Hình chữ nhật có chiều dài / chiều rộng = Ф được gọi là hình chữ nhật vàng
Cả loài người vẫn không thể giải thích được tại sao vô số những thực thể hữu cơ lẫn vô cơ tìm thấy trong tự nhiên lặp đi lặp lại tỷ lệ đặc biệt trên. Nguyên nhân đằng sau con số chi phối sự cân đối hài hoà và vẻ đẹp của toàn thể vũ trụ và nhân loại ấy là gì? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều người trong hàng thiên niên kỷ qua, nhưng cho đến ngày nay nó vẫn tiếp tục là một điều bí ẩn.

http://giasu99.com/gia-su-toan
Ф và các công trình kiến trúc
Tỉ lệ vàng đã được áp dụng trong các kích thước kiến trúc của các công trình nổi tiếng như đền Parthenon Hi Lạp, các kim tự tháp Giza và thậm chí của cả tòa nhà trụ sở Liên hợp quốc tại New York. Một số kiến trúc Việt Nam cũng thể hiện tỉ lệ này.
“Thước tầm” thời xưa của Việt Nam với những số đo xuất phát từ các kích thước của con người cũng tuân thủ quy luật của Tỷ Lệ Vàng. Tỉ lệ giữa “khoảng nằm” và “khoảng đứng” luôn là một số ≈ Ф, mặc dù con số ấy có sai khác đôi chút giữa các phường thợ khác nhau.
Tỉ lệ các cạnh của hình chữ nhật càng gần Ф thì càng bắt mắt.
Hình chữ nhật có chiều dài / chiều rộng = Ф được gọi là hình chữ nhật vàng
Cả loài người vẫn không thể giải thích được tại sao vô số những thực thể hữu cơ lẫn vô cơ tìm thấy trong tự nhiên lặp đi lặp lại tỷ lệ đặc biệt trên. Nguyên nhân đằng sau con số chi phối sự cân đối hài hoà và vẻ đẹp của toàn thể vũ trụ và nhân loại ấy là gì? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều người trong hàng thiên niên kỷ qua, nhưng cho đến ngày nay nó vẫn tiếp tục là một điều bí ẩn.

http://giasu99.com/tim-gia-su
Ф và các công trình kiến trúc
Tỉ lệ vàng đã được áp dụng trong các kích thước kiến trúc của các công trình nổi tiếng như đền Parthenon Hi Lạp, các kim tự tháp Giza và thậm chí của cả tòa nhà trụ sở Liên hợp quốc tại New York. Một số kiến trúc Việt Nam cũng thể hiện tỉ lệ này.
“Thước tầm” thời xưa của Việt Nam với những số đo xuất phát từ các kích thước của con người cũng tuân thủ quy luật của Tỷ Lệ Vàng. Tỉ lệ giữa “khoảng nằm” và “khoảng đứng” luôn là một số ≈ Ф, mặc dù con số ấy có sai khác đôi chút giữa các phường thợ khác nhau.

Bí kíp tạo hứng với môn toán .​

Góc học tập lý tưởng, học từ dễ đến khó, sử dụng phương pháp trực quan sinh động… là những bí kíp sẽ giúp các teen Việt vượt qua nỗi sợ các bài tập đầy những con số và tạo hứng khởi với môn Toán vốn dĩ chẵng dễ “nhằn” này.
Một không gian học tập tốt sẽ giúp bạn có hứng khi học toán
http://giasu99.com/
Đầu tiên, hãy biến học Toán trở thành niềm vui bằng việc thiết kế một không gian lý tưởng. Điều này chí ít sẽ giúp bạn cảm thấy hứng khởi trước khi mở sách ra. Đừng quên chọn màu, thiết kế, làm mới hoặc sáng tạo ra những đồ đựng bút từ những vật liệu đang xung quanh mình… Tuy nhiên, góc học tập của bạn không nên dùng màu quá đậm, sẽ gây mất tập trung. Nhưng nhớ là màu quá nhạt nhòa lại làm bạn dễ buồn chán. Giải pháp là chọn một màu tươi sáng tự nhiên kết hợp với một màu nhẹ dịu hơn, ví dụ: cam và trắng, xanh lá và kem.
Bạn nên lập thời gian biểu cho riêng mình. Với lịch học được lập trình hợp lý, bạn sẽ có khoảng thời gian vừa đủ cho việc học, chơi và nghỉ ngơi. Và chính thời gian biểu ấy sẽ tạo áp lực học tập cho các teen, nhắc nhở rằng thời gian không có nhiều. Do đó, bạn nhớ tuân thủ thời gian biểu một cách nghiêm khắc và học tập trung rồi xả hơi thoải mái còn hơn vừa học vừa chơi.

http://giasu99.com/gia-su-toan
Một không gian học tập tốt sẽ giúp bạn có hứng khi học toán
Đặc biệt, bạn hãy bắt đầu với phần học thú vị nhất. Khi phải dừng học để nghỉ giải lao hay làm việc khác, bí quyết là bạn chú ý dừng ở nội dung hấp dẫn hoặc dễ dàng cho bản thân. Khi quay trở lại bàn học, bạn sẽ tiếp tục ở chính đoạn thú vị ấy và việc này khiến cho các teen dễ dàng học lại.
http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Bất cứ khi nào bạn cảm thấy không muốn học, hãy chỉ huy bản thân rằng phải học 5 phút thật tử tế, chỉ 5 phút thôi. Tự thuyết phục là sau 5 phút học bạn có thể dừng lại. Điều này sẽ khiến bạn thấy bớt uể oải và hưng phấn hơn để học đấy. Thông thường sau 5 phút này, bạn có khuynh hướng bắt nhịp với việc học và thật tự nhiên là bạn sẽ tiếp tục học lâu hơn. Chìa khóa ở đây chính là đảm bảo rằng trong 5 phút đầu tiên, bạn sẽ học với 100% độ tập trung.

Trên trang Violympic có rất nhiều trò chơi giúp luyện toán hữu ích
Theo nhiều chuyên gia tâm lý, trong thời buổi của công nghệ, việc học nên tận dụng yếu tố công nghệ, để tăng thêm phần hiệu quả và hứng thú trong học tập. Hiện nay, có rất nhiều phần mềm, website trực tuyến có thể hỗ trợ các bạn trong quá trình học tập. Bạn Đậu Hải Đăng, chủ nhân của Huy chương Vàng Violympic Toán (IMO 53) chia sẻ: “Hồi lớp 9 mình cũng thường tham gia thi luyện online ở trang website tự luyện có uy tín Violympic . Theo mình, việc học bằng trực quan sinh động rất hay, đặc biệt sẽ giúp cho môn học toán thêm thú vị. Tại đây, các bài toán được biến hóa kỳ thú bằng những trò chơi ngộ nghĩnh như đỉnh núi trí tuệ, cóc vàng tài ba, khỉ con thông thái…sẽ giúp các teen chúng mình bị cuốn hút vào quá trình chinh phục môn Toán”. Theo chủ nhân của chiếc Huy chương Vàng này, các teen nên bắt đầu học môn mình yêu thích trước, sau đó mới đến môn Toán khó “nhằn” bởi điều này sẽ tạo hứng cho bạn đối mặt với những bài tập đầy rẫy những con số.
http://giasu99.com/gia-su-ha-noi

Đối với nhiều người, câu hỏi tưởng như vô cùng đơn giản: “Tại sao 1 + 1 = 2?” lại là một trong những câu hỏi khó trả lời nhất. Tại sao? Vì nó gần như là hiển nhiên. Bạn có 1 trái táo, sau đó có người cho bạn 1 trái nữa, thì bạn có 2 trái, tự nhiên nó đã như thế.

Tuy nhiên, nếu xét theo quan điểm của Toán học hiện đại, việc chứng minh “1 + 1 = 2” là thừa, vì nó không có bất kỳ một ý nghĩa nào nữa, thậm chí, người ta còn có thể chứng minh được rằng “1 + 1” không bằng 2.
Xin trình bày với các bạn một cách thức xây dựng mà ở đây “1 + 1” sẽ không bằng 2 nữa, mà bằng một cái gì đó tùy ý theo đúng quan điểm của Toán.
Trước hết, ta cần có một số khái niệm cơ bản sau:
1. Tập hợp
Đây là khái niệm cơ bản của Toán học, nên ta không có câu trả lời cho “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó mà ta gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp theo tính chất của các phần tử trong đó.
Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…
“Tập hợp các phương tiên giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…
Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…
Ở trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Descarte. Cho hai tập hợp A và B, tích Descarte của A và B ký hiệu là AxB, là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y) trong đó, x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).
http://giasu99.com/gia-su-toan
2. Ánh xạ
Cho hai tập hợp X và Y, một phép tương ứng “mỗi phần tử x của X với duy nhất một phần tử y của Y” được gọi là một ánh xạ.
Khi đó, chúng ta cần lưu ý trong định nghĩa này, nếu x thuộc X thì phải có, và chỉ có 1 phần tử y thuộc Y tương ứng với x mà thôi, nếu có x mà không có y hoặc có 2 phần tử thuộc Y tương ứng thì đó không gọi là ánh xạ.
Người ta ký hiệu ánh xạ là f từ X và Y, ảnh của phần tử x thuộc X ta ký hiệu là f(x).
http://giasu99.com/gia-su-ha-noi
3. Xây dựng mô hình bài toán
Sau khi có đủ hai khái niệm trên ta xây dựng mô hình cho bài toán 1 + 1 không bằng 2 nhé:
Cho tập hợp số tự nhiên N và tập hợp tên các loại trái cây, ký hiệu là T. Khi đó, tích Descarte của tập N và N là NxN gồm các phần tử có dạng (a; b) (ta gọi là cặp số (a; b)), trong đó a, b là các số tự nhiên.
Xét ánh xạ f từ tập NxN vào tập T, khi đó, tương ứng với mỗi cặp số (a; b) là một tên của một loại trái cây nào đó, là f(a; b). Ta ký hiệu f(a; b) = a + b (lưu ý, a + b ở đây chỉ là một ký hiệu mà thôi). http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Khi đó, xét cặp số (1; 1), nó sẽ tương ứng với một tên trái cây nào đó trong tập T (chắc chắc là phải có theo định nghĩa ánh xạ), giả sử đó là “Trái cam”. Khi đó ta được
f(1; 1) = “Trái cam”, hay nói cách khác, ta có “1 + 1 = Trái cam” (vì f(1; 1) = 1 + 1).
4. Kết luận

Từ mô hình trên, ta đã có được kết quả, 1 + 1 không phải là 2 nữa, mà nó có thể là bất cứ thức gì mà ta muốn. Ngoài ra, từ mô hình này ta cũng có được câu trả lời cho “Tại sao 1 + 1 = 2”. Đó là: đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra mà thôi, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+” thì người ta ký hiệu dấu “-”, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2” thì về bản chất cũng không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).
Theo http://giasu99.com/

"Nghịch lý" cùng ngày sinh nhật​

Thật ra nếu tính đầy đủ, tức là tính cả ngày sinh “độc”: 29 tháng 2 (4 năm mới tổ chức sinh nhật được 1 lần) thì có tất cả là 366 ngày sinh nhật. Nếu các bạn có một nhóm 367 người thì chắc chắn rằng sẽ có 2 người cùng ngày sinh nhật (biến cố chắc chắn: xác suất sẽ là 1).

http://giasu99.com/gia-su-ngoai-thuong
Điều tôi vừa nói chẳng có gì lạ nhưng không biết các bạn có tin không: Chỉ cần nhóm của bạn có 23 người thôi là đã có hơn 50% cơ hội để có 2 bạn cùng ngày sinh rồi! ( tức là xác suất để có 2 người cùng ngày sinh trong nhóm 23 người là lớn hơn 1/2). Mới nghe thì thấy cái tỉ lệ này chẳng hợp lý tí nào nhưng đó lại là sự thật. Những phân tích sau đây có thể chỉ dành cho các bạn đã học phép đếm ở chương trình lớp 11:

Trước tiên ta giả sử nhóm của bạn có n bạn. Vì mỗi bạn đều có 366 cách chọn ngày sinh nhật, cho nên n bạn sẽ có 366n cách chọn ngày sinh- Tức là có tất cả 366n khả năng khác nhau khi nói về ngày sinh của n bạn trong nhóm.
Gia sư Toán đại học Ngoại Thương rất vui được chia sẻ kiến thức toán học với các bạn
Bây giờ ta sẽ tính xem có bao nhiêu cách chọn ngày sinh cho n bạn trên để sinh nhật của n bạn đó đều khác nhau. Bạn đầu tiên có 366 cách chọn ngày sinh nhật, bạn thứ 2 chỉ còn 365 cách ( vì phải khác ngày sinh nên không được chọn lại ngày sinh của bạn thứ nhất). Tương tự bạn thứ 3 có 364 cách chọn… Như vậy tổng số cách chọn để tất cả n bạn có ngày sinh khác nhau là:
366.365.364...(366−n+1)=366!(366−n)!

(Một cách khác đây chính là số cách chọn ra n ngày sinh khác nhau từ 366 ngày và có tính đến thứ tự khi chọn, sẽ là chỉnh hợp chập n của 366 phần tử)

Xác suất để ngày sinh của cả n bạn trong nhóm đều khác nhau là:
P(A)=366!366n(366−n)!


Suy ra xác suất để trong nhóm n bạn có ít nhất 2 bạn cùng ngày sinh là:
P=P(A¯)=1−366!366n(366−n)!


Đến đây bạn dùng máy tính (có lẽ phải dùng maple, chứ dùng CASIO nó không tính nổi!) thì thấy rằng với n=23 thì P≈0.506. Nói khác đi, có đến hơn 50% khả năng để trong nhóm 23 bạn bất kì có 2 bạn cùng ngày sinh nhật.

Thậm chí với n=57 thì xác suất đó là 99%! Sau đây là đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của P theo n:

Nếu quả thật các bạn đọc xong bài này vẫn chưa thật tin tưởng, điều thú vị nên làm là hãy kiểm tra với chính lớp học của bạn và các lớp học bên cạnh nhé…
Được chia sẻ bởi gia sư ngoại thương