Undergraduate Math puzzles

Mình vừa tìm thấy cái problem sets này, cũng hay hay mà khó, post lên cho anh em giải trí cái!!

1. Hãy chỉ ra một vật thể lồi 3D mà tập các cực điểm của nó là không đóng

2. Chứng tỏ rằng trong 1 tập không đếm được trên đường thẳng thực bao giờ cũng chứa 1 điểm là điểm tụ của nó.

3. Chứng minh tập các điểm tụ như ở bài 2 thật ra là không đếm được

4. Gọi C là lực lượng của đường thẳng thực. Chứng minh rằng tập hợp các hàm có tính chât Darboux có lực lượng 2[sup]C[sup]

5. Chứng minh rằng mọi tập đóng trên đường thẳng thực đều là tập nghiệm của một hàm khả vi vô hạn ( bạn nên thử với hàm liên tục trước )

6. Chỉ ra một ánh xạ 1-1 từ đường thẳng thực lên hình vuông đơn vị

7. Chứng minh rằng không tồn tại 1 hàm như bài 6 mà liên tục!

Tiếp này

8. Chứng minh rằng trong không gian Rn, hình lập phương đơn vị có thể chia thành n! đơn hình có cùng thể tích!!
9. Bạn có nhiệm vụ chuyển 10000 cân cỏ trên quãng đường 1000 dặm từ Ai Cập đến Bờ Biển Ngà. Bạn có 1 con lạc đà. Tuy nhiên bạn có 2 khó khăn sau đây :
- Bạn phải cho con lạc đà nhai cỏ liên tục, cứ một dặm thì nó ngốn 1 cân cổ
- Con lạc đà chỉ chở được tối đa là 1000 cân,
Liệu bạn có làm cách nào để khi đến Bờ Biển Ngà mà vẫn còn cỏ trong tay không?
Và lượng cỏ lớn nhất mà bạn có thể mang đến đích là bao nhiêu?
10. Có tồn tại n để 2[sup]n[sup] bắt đầu bằng chứ số 7 không? Có bao nhiêu phần trăm luỹ thừa của 2 bắt đầu bằng 1?

11. Chứng minh rằng một đồ thị 7 đỉnh mà qua mỗi đỉnh có 4 cạnh thì không thể là đồ thị phẳng

12 . Bạn có 11 số tự nhiên có tính chất : bỏ đi bất kỳ số nào cũng có thể chia phần còn lại thành 2 nhóm 5 số mà tổng các số trong 2 nhóm là bằng nhau . Chứng minh các số này bằng nhau.

13. Giải bài 12 với số bất kỳ thay vì số nguyên
Have fun solving these mentally challenged problems

Cám ơn bạn nhé. Bạn tích cực thật đấy.
1. Tớ không hiểu từ cực điểm.
3. Tập các điểm cô lập không lớn hơn tập số hữu tỉ.
4. Tập các hàm từ R vao R bằng tập các hàm khả tích Riman (do hàm khả tích Riman thay đổi trên tập độ đo 0 vẫn khả tích Riman, lấy tập Cantor có độ đo 0 nhưng lực luợng bằng R) có lực lượng bằng R^R=(2^N)^R=2^(N*R)=2^R
5. Chắc liên quan gì đến phân hoạch đơn vị.
6. Chỉ ra R=2^N nên lực lượng R*R = lực lượng R
Có bài toán cho các bạn suy nghĩ: Cho X là tập vô hạn thì X*X có lực lượng bằng X.(lấy của anh Phạm Ngọc Mai_ĐHSPHN)
7. Bỏ đi một điểm thì R không còn liên thông, R^2 vẫn còn liên thông. CMR không có đồng phôi từ R^n vào R^m với n<>m, cách cũ không áp dụng được.
Được ht_sp sửa chữa / chuyển vào 01:51 ngày 23/01/2005