Ý nghĩa vật lý của các toán tử DIV, ROT, GRAD

Ý nghĩa vật lý của các toán tử DIV, ROT, GRAD

Các bác cho em hỏi ý nghĩa vật lý của các toán tử div, rot, grad là gì? Và tại sao những công thức toán học khô khan lại có ý nghĩa vật lý như vậy?

Câu hỏi này đã trả lời tại box Toán học:http://www9.ttvnol.com/toanhoc/877678.ttvn?SearchTerms=To%C3%A1n,t%E1%BB%AD,div#8521326

Ý kiến của tôi như sau (chỉ dựa trên phân tích):
Toán tử rot xác định độ xoáy của trường xoáy, như từ trường chẳng hạn. Nếu giá trị của vectơ rot càng lớn thì các đường sức (vòng xoáy) có chu vi càng bé.
Toán tử grad xác định hướng tăng của trường vô hướng. Giả sử X là trường mật độ thì gradX tại một điểm sẽ chỉ về hướng tăng của mật độ.
Riêng toán tử div thì tôi không tìm ra ý nghĩa của nó.
Mong đọc được bài viết về vấn đề này.

grad chỉ hướng tăng nhanh nhất bác nhỉ, trường F có thể tăng theo nhiều hướng nhưng hướng tăng lớn nhất có phương của gradF.
Thực sự là học lâu quá nên quên mất công thức tính div của một trường vectơ rồi, ai nhớ post lên hộ, anh em sẽ cùng nhau tìm ra ý nghĩa của nó.
Được dangiaothong sửa chữa / chuyển vào 08:02 ngày 15/11/2007

Đây là công thức của DIV:
cho vector F = F1 i + F2 j + F3 k

Theo em được biết thì DIV có ý nghĩa là một nguồn gì gì đó. Nhưng có bác nào biết tại sao những công thức toán học trên lại có ý nghĩa như vậy không? Cả ROT, GRAD nữa tại sao các công thức toán học của nó lại có ý nghĩa vật lý như trên?

Các bài đã trả lời rõ nếu bạn đọc kỹ,. Mình chỉ tóm tắt lại thế này thôi:
- Grad (viêt tăt Gradient): chỉ hướng biến đổi mạnh nhất (hướng của vec to Grad) và tốc độ biến đổi (thể hiện ở độ lớn của vecto grad) của TRƯỜNG VÔ HƯỚNG (Scalar field). Nó thể hiện rõ ở công thức dF/dx: độ biến đổi của F tính trên 1 độ biến đổi của x (ghi chú F là kỹ hiệu chung nhé, chứ tôi k dùng để chỉ lực đâu)
- Div (viết tắt của Divergence): Độ phân tán của TRƯỜNG VECTƠ. Tưởng tượng như ta có một nguồn nước chảy ra từ đau đó, trong đó các tia nước hợp thành một trường vecto, thì DIV càng lớn nó càng "tung tóe" (tạm gọi như vậy). Công thức của DIV có thể coi gần như Grad theo cả 3 hương x, y và z (gần như để hình dung thôi nhé, chứ k phải là giống nhau đâu).
- Rot (Rotation): nhìn là thấy ngay sự quay. Rot thể hiện độ xoáy nhiều hay ít của trường vectơ. Trong công thức của Rot bạn có thể thấy nó có dạng các hình chiếu của đại lượng theo trục x chẳng hạn nhưng lại chiếu trên trục y, đại lượng theo y lại chiếu trên trục z....vân vân đại khái như thế.

Theo như công thức tính div F thì nó là một đại lượng vô hướng đặc trưng cho mức độ biến thiên của trường vectơ trong không gian theo cả 3 phương. Vì thế người ta mới gọi là suất tiêu tán hay toán tử phân kì.

Hình như bạn học K49 vật lí Sư Phạm?
Ý nghĩa của toán tử grad nằm ngay trong biểu thức của nó. Với toán tử rot có lẽ tớ không giải thích rõ được, nếu bạn học K49 thật thì tớ nghĩ điều bạn cần tìm hiểu nằm trong giáo trình "Điện động lực học" của thầy Nguyễn Phúc Thuần. Chắc bạn cũng nhớ định lí về tích phân đường khi tính lưu số của trường véc tơ?
Giải thích của bạn ntdu về toán tử div có lẽ là dễ hình dung nhất, ý nghĩa của nó chỉ có được nhờ phân tích biểu thức của nó thôi!
Được cadzot sửa chữa / chuyển vào 19:48 ngày 16/11/2007